Als cantorsches Produkt bezeichnet man in der Analysis ein unendliches Produkt, dessen Glieder aus rationalen Zahlen der Form bestehen, wobei die darin auftretenden Nenner stets natürliche Zahlen sind und zudem immer so beschaffen, dass der Nenner des -ten Gliedes stets mindestens so groß ist wie das Quadrat des zum vorangehenden -ten Glied gehörigen Nenners
Die cantorschen Produkte wurden von Georg Cantor in einer Arbeit aus dem Jahre 1869 eingeführt. Wie Cantor darin zeigte, lässt sich jede beliebige reelle Zahl in Form eines cantorschen Produkts darstellen. Grundlegend für Cantors Darlegungen ist dabei die auf Leonhard Euler zurückgehende eulersche Produktgleichung ,
welche für alle reellen (und darüber hinaus sogar für alle komplexen) Zahlen des Betrags Gültigkeit hat.
Cantors Satz Cantors Satz über die cantorschen Produkte lässt sich zusammengefasst wie folgt darstellen: Sei eine reelle Zahl. Dann gilt: (I) Zu lässt sich eine und nur eine Zahlenfolge natürlicher Zahlen so bestimmen, dass eine Produktdarstellung der Form
hat, wobei in dieser Zahlenfolge für jeden Index die Ungleichung erfüllt ist und zudem nur endlich viele Folgenelemente sind.
(II) Jedes cantorsche Produkt, also jedes unendliche Produkt der in (I) beschriebenen Form, ist konvergent.
(III) ist genau dann eine rationale Zahl, wenn in der cantorschen Produktdarstellung gemäß (I) ab einem Index für alle nachfolgenden Indizes stets die Identität besteht.
Algorithmus zur Bestimmung der cantorschen Produktdarstellung Die Zahlenfolge lässt sich ausgehend von wie folgt induktiv festlegen:
ist die Gaußklammerfunktion. und für
Beispiele Formel von Engel: Für gilt stets
mit und .
Insbesondere gilt für : Diese Produktdarstellung von taucht auch in der Arbeit von Cantor auf. Dabei unterlief Cantor ein Rechenfehler und anstelle des korrekten Wertes fälschlich angegeben. Perron nennt in den Irrationalzahlen hierfür den korrekten Wert.
Weitere Beispiele von Cantor: Auch bei war Cantor ein Rechenfehler unterlaufen, denn er nannte anstelle des korrekten Wertes fälschlich .
Anmerkung Im ersten Band des Lexikons der Mathematik werden auch endliche Produkte, welche ansonsten die beiden oben genannten Nebenbedingungen erfüllen, als cantorsche Produkte behandelt. Zudem wird für alle gefordert. Perron erwähnt zu den cantorschen Produkten in den Irrationalzahlen, dass diese sehr rasch konvergieren. Aus ihnen kann man daher mit nur wenigen Rechenschritten sehr gute Näherungsbrüche für alle reellen Zahlen > 1 gewinnen. Auf Euler gehen zwei weitere bemerkenswerte eulersche Produktdarstellungen zurück, nämlich die folgenden beiden, die in der modernen Funktionentheorie auf dem Wege über Thetafunktionen hergeleitet werden: Für jede komplexe Zahl des Betrages gilt: Laut Borwein-Borwein ist dies der eulersche Pentagonalzahlsatz. sowie .
Literatur
Einzelnachweise und Anmerkungen
Kategorie:Analysis Kategorie:Georg Cantor als Namensgeber