mini|Das dargestellte kubische Kristall wird durch zwei verschiedene Transformationen auf sich abgebildet: Drehungen um 90° um eine der schwarz gezeichneten Raumrichtungen oder 120°-Drehungen um eine Raumdiagonale (rot). Nach solchen Drehungen weist die Probe eines kubisch anisotropen Materials unverändertes Verhalten auf. mini| Kubische Kristallstruktur des Diamanten.
Die kubische Anisotropie, gehörend zum gleichnamigen Kristallsystem, ist die einfachste Art der Richtungsabhängigkeit eines Materials. Es gibt sie in zwei Formen: Die einen Materialien ändern ihr Kraft-Verformungs-Verhalten nicht, wenn sie um 90° um bestimmte, aufeinander senkrecht stehende Achsen, die Orthotropieachsen, gedreht werden (im Bild schwarz, Kochsalzstruktur). Die anderen Materialien zeigen identisches Kraft-Verformungs-Verhalten, wenn sie um 120° um die Raumdiagonalen (eine davon im Bild rot) oder um 180° um die Orthotropieachsen gedreht werden (Diamantstruktur, siehe Animation rechts).
Beide Materialgruppen zeigen im Bezugssystem parallel zu diesen Achsen bei kleinen Verformungen keine Kopplung zwischen Normaldehnungen und Schubverzerrungen und identisches Verhalten. Außerhalb dieses linearen Bereichs treten jedoch Abweichungen auf und sie zeigen auch abweichende elektromechanische Eigenschaften. Für die Beschreibung des linear elastischen Verhaltens werden drei Parameter gebraucht; für die anderen #Thermo- und Elektromechanische Eigenschaften werden in der ersten Gruppe weitere drei in der zweiten weitere vier Parameter benötigt.
Den speziellen Fall, dass ein Material (an einem Teilchen) unabhängig von der Belastungsrichtung jeweils dasselbe Kraft-Verformungs-Verhalten zeigt, wird als Isotropie bezeichnet. Den allgemeinen Fall, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten von der Belastungsrichtung abhängt, wird dagegen als Anisotropie bezeichnet. Die kubische Anisotropie ist ein Spezialfall der Orthotropie und enthält ihrerseits die Isotropie als Sonderfall. Ein nicht-isotropes, kubisch anisotropes Material ist nicht transversal Isotrop. (Transversale Isotropie ist ein anderer Spezialfall der Orthotropie und enthält ihrerseits auch die Isotropie als Sonderfall.)
Viele Metalle und deren Salze sind kubisch anisotrop, z. B. Halbleitermetalle, die in der Halbleitertechnologie der Elektronik eine wichtige Rolle spielen, Alkalimetalle und deren Salze.
Materialtheoretische Beschreibung Symmetriegruppen
Die Richtungsabhängigkeit eines Materials zeichnet sich dadurch aus, dass das Kraft-Verformungs-Verhalten unabhängig (invariant) gegenüber nur bestimmten Drehungen des Materials ist. Diese Drehungen bilden die Symmetriegruppe des kubisch anisotropen Materials. Die kubische Anisotropie besitzt – wie eingangs erwähnt – zwei Symmetriegruppen.
Die eine Gruppe beinhaltet alle 90°-Drehungen um drei bestimmte, zueinander senkrechte Achsen, die Orthotropieachsen genannt und mit Einheitsvektoren ê1,2,3 bezeichnet werden. Die Invarianz gegenüber diesen Drehungen des Materials veranschaulichen drei Experimente an einem Teilchen: Im ersten Experiment bringt man am Teilchen eine bestimmte Kraft auf und misst die resultierende Verformung. Im zweiten Experiment dreht man das Material zunächst nacheinander um beliebige Orthotropieachsen – und zwar jeweils um 90°. Dann bringt man dieselbe Kraft auf wie im ersten Experiment und misst erneut die Verformung. Bei kubisch anisotropem Material der ersten Gruppe wird man im zweiten Experiment dieselbe Verformung messen wie im ersten. Und zwar auch bei nicht-linear elastischem Materialverhalten. Die hier aufgebrachten Drehungen sind Elemente der Menge gR1.
Die andere Symmetriegruppe beinhaltet 120°-Drehungen um die Raumdiagonalen, und 180°-Drehungen um die Orthotropieachsen aus der Menge gR2. Die Invarianz gegenüber diesen Drehungen des Materials zeigt sich in einem dritten Experiment, wenn das Teilchen beispielsweise um 120° um die (111)-Raumdiagonale oder um 180° um eine Orthotropieachse gedreht wird. Bringt man wieder dieselbe Kraft auf wie im ersten Experiment und misst erneut die Verformung, dann wird bei kubisch anisotropem Material der zweiten Gruppe in diesem Experiment auch bei nicht-linear elastischem Materialverhalten dieselbe Verformung gemessen wie im ersten.
Die Abhängigkeit von den Drehungen des Materials erkennt man, wenn man im zweiten und dritten Experiment nicht um Vielfache von 30° dreht. Wenn nicht der Spezialfall Isotropie vorliegt, wird nun immer eine andere Verformung beobachtet wie im ersten Experiment. Eine Abweichung wird man auch feststellen, wenn man im zweiten Experiment die Drehungen aus gR2 anwendet und bis in den nicht-linear elastischen Bereich belastet.
Die angesprochenen Drehungen werden in der Kontinuumsmechanik durch orthogonale Tensoren Q repräsentiert. Eine Symmetriegruppe gR besteht aus denjenigen Transformationen, die die Formänderungsenergie w invariant lassen. Mathematisch wird das mit dem Verzerrungstensor E durch
für alle E
ausgedrückt. Darin bedeutet "·" das Matrizenprodukt und das hochgestellte "⊤" eine Transponierung. Mit Q gehört auch -Q zur Symmetriegruppe, was durch Hinzufügen des negativen Einheitstensors -1, der eine Punktspiegelung repräsentiert, zu gR berücksichtigt werden kann. Die Symmetriegruppen werden durch die unten angegebenen Erzeugenden bestimmt, mit denen sämtliche Elemente der Gruppe durch Matrizenmultiplikation berechnet werden können.
Die Symmetriegruppen der kubisch anisotropen Materialien sind
bei Kochsalzstruktur: , Gruppenordnung=48 bei Diamantstruktur: , Gruppenordnung=24
Darin steht für den orthogonalen Tensor, der mit dem Winkel α in Radiant um die k-Achse dreht. Die p-Achse ist die Raumdiagonale, die parallel zur Summe der #Orthotropieachsen ê1+ê2+ê3 ist und es gilt: . In gR2 sind alle 120°-Drehungen um alle Diagonalen ±ê1±ê2±ê3 und 180°-Drehungen um jede der Orthotropieachsen, jedoch keine 90°-Drehung um eine der Orthotropieachsen enthalten. gR2 ist eine echte Untergruppe von gR1.
Invarianten In der isotropen Hyperelastizität hängt die Formänderungsenergie von den Hauptinvarianten I1,2,3 des Verzerrungstensors E ab:
w(E)=w(I1, I2, I3)
Die analoge Darstellung der Anisotropie erfordert, dass ein komplettes System von skalarwertigen Funktionen bekannt ist, die unter allen Transformationen in gR1,2 invariant sind. Bei der kubischen Anisotropie gibt es zu den beiden Symmetriegruppen zwei verschiedene Mengen von Invarianten, wobei die Invarianten in gR1 sämtlich auch in gR2 invariant sind. Daher ist die kubische Anisotropie mit Kochsalzstruktur (gR1) materialtheoretisch ein Spezialfall derjenigen mit diamantstruktur (gR2). Das zeigt sich auch in den #anderen physikalischen Eigenschaften. In der linearen Elastizität führen beide Symmetriegruppen auf gleiche Darstellungen, weil Differenzen erst bei Produkten dritter und höherer Ordnung auftreten. In diesen Produkten gibt es auch solche, die Normal- und Schubverzerrungen kombinieren, was eine Zug-Scher-Kopplung bei großen Verformungen bewirkt.
Invarianten der Symmetriegruppe gR1 E11+E22+E33, E11E22+E11E33+E22E33, E122+E132+E232, E11E22E33, E12E13E23, E11E122+E22E232+E33E132+E11E132+E22E122+E33E232, E11E22E122+E11E33E132+E22E33E232, E122E132+E122E232+E132E232, E11E122E132+E22E122E232+E33E132E232
Diese Invarianten sind auch in der zweiten Gruppe invariant, denn die grün geschriebene in gR1 oben kommt zwar in gR2 nicht vor, ist dort aber als Summe der in gR2 unten grün geschriebenen darstellbar. Invarianten der Symmetriegruppe gR2 E11+E22+E33, E11E22+E11E33+E22E33, E122+E132+E232, E11E22E33, E12E13E23, E11E122+E22E232+E33E132, E11E132+E22E122+E33E232, E11E222+E22E332+E11E332, E122E132+E122E232+E132E232, E11E22E122+E11E33E132+E22E33E232, E11E122E132+E22E122E232+E33E132E232, E11E22E132+E11E33E232+E22E33E122, E11E122E232+E22E132E232+E33E122E132, E122E134+E132E234+E232E124
In den Auflistungen ist mit den #Orthotropieachsen ê1,2,3. Die schwarz und grün geschriebenen Invarianten entsprechen einander in gR1 und gR2 und die blau geschriebenen kommen in gR2 hinzu.
Strukturvariable Die Invarianten können mit Strukturvariablen M dargestellt werden, bei denen
für alle E
gilt. Ihr Name rührt daher, dass die Variablen auf diese Weise die interne Struktur des Materials repräsentieren. Dieser Ansatz hat den Vorteil koordinatenunabhängig zu sein. Die Strukturvariablen sind in gR invariant, siehe Euklidische Transformation:
In der kubischen Anisotropie sind die Strukturvariablen Tensoren vierter Stufe , für die die Transformationsregel
lautet, siehe Formelsammlung Tensoralgebra#Tensoren vierter Stufe. Darin ist Qij=êi · Q · êj und ⊗ das dyadische Produkt. Die Strukturvariable in der kubischen Anisotropie der ersten Gruppe ist
In gR1 ist der Tensor vierter Stufe wegen Q · êi=êj∈{±ê1, ±ê2, ±ê3} invariant, denn
Mit der Strukturvariablen werden die Tensoren
erzeugt, mit deren Produkten
Sp(E), Sp(E2), Sp(E3), Sp(A3), Sp(B2), Sp(B3), Sp(E·A), Sp(E2·A), Sp(E·A2), Sp(E2·A2), Sp(E·B), Sp(E2·B), Sp(E·B2), Sp(E2·B2), Sp(A·B), Sp(A2·B), Sp(A·B2), Sp(A2·B2), Sp(E·A·B)
die #Invarianten des vorigen Abschnitts dargestellt werden können. Sp bildet die Spur, die eine Hauptinvariante eines Tensors zweiter Stufe ist.
In der zweiten Gruppe werden zwei Tensoren vierter Stufe gebraucht, die in gR2 invariant sind:
Darin ist der dem Vektor zugeordnete schiefsymmetrische Tensor, der im ê1,2,3-System mit dem Kronecker-Delta δ die Darstellung
besitzt, siehe Kreuzprodukt#Kreuzproduktmatrix.
Mit den Strukturvariablen werden und und die Spuren
Sp(E), Sp(E2), Sp(E3), Sp(A2), Sp(A3), Sp(E·A2), Sp(E2·A), Sp(E2·A2), Sp(E·W2), Sp(E2·W2), Sp(E2·W2·E·W)
berechnet. Aus diesen Kennzahlen sowie
Sp(E4), Sp(A4), Sp(W4), Sp(E·A·E·A), Sp(E·W·E·W), Sp(A·W·E·W), Sp(W·A·E·W)
lassen sich die #Invarianten der zweiten Symmetriegruppe im vorhergehenden Abschnitt ableiten.
Kubische Anisotropie in der linearen Elastizität Dieser Abschnitt befasst sich mit den linearen mechanischen Eigenschaften kubisch anisotroper Stoffe. Merkmale wie Kristallklassen, Wärmeausdehnung oder Piezoelektrizität sind Gegenstand des nächsten Abschnitts #Thermo- und Elektromechanische Eigenschaften.
Materialgesetz Gegeben sind zwei Tensoren zweiter Stufe und mit 3×3-Koeffizienten bzw. . Der allgemeinste lineare Zusammenhang, den es zwischen diesen Koeffizienten gibt, ist:
Darin sind 81 Koeffizienten mit denen die neun Komponenten auf neun Komponenten abgebildet werden. In der linearen Elastizitätstheorie, in der der symmetrische Spannungstensor und der symmetrische Verzerrungstensor ist, reduziert sich die Anzahl der unabhängigen Tensor-Komponenten auf sechs, so das nur 36 Koeffizienten unabhängig sind (wegen ). Im Fall der Hyperelastizität liegt noch die Symmetrie vor, so dass dann nur noch 21 Koeffizienten unabhängig sind. Diesen Zusammenhang zwischen Spannungen und Verzerrungen kann man nun in Voigt’scher Notation auch als Matrizengleichung schreiben:
Hier wurde mittels der Zuordnung 11→1, 22→2, 33→3, 23→4, 13→5 und 12→6 die Anzahl der Indizes halbiert. Die Steifigkeitsmatrix C mit den 21 unabhängigen Komponenten Cij repräsentiert den Elastizitätstensor des Materials.
Elastizitätsgesetz und Anisotropiefaktor Ein Material ist kubisch anisotrop linear elastisch, wenn eine Orthonormalbasis existiert, die Orthotropieachsen ê1,2,3, so dass das Elastizitätsgesetz dargestellt in Bezug auf diese Basis folgende Form (mit nur drei unabhängigen Einträgen) annimmt:
Im Sonderfall der Isotropie sind nur zwei der drei Einträge unabhängig und es gilt mit dem Schubmodul G und der zweiten Lamé-Konstanten λ:
Der Bruch definiert den dimensionslosen Anisotropiefaktor nach Zener:
Der Anisotropiefaktor ist bei kubischer Anisotropie von eins verschieden, wie die folgende Tabelle zeigt.