Das logarithmische Konvergenzkriterium ist ein Konvergenzkriterium der Analysis, einem der Teilgebiete der Mathematik. Es gibt hinreichende Bedingungen sowohl für die Konvergenz als auch für die Divergenz von Reihen, deren Glieder eine Folge positiver reeller Zahlen bilden.
Formulierung des Kriterium Das Kriterium besagt folgendes:
Sei eine Zahlenfolge in und sei dabei jede Zahl .
Es sei vorausgesetzt, dass die dazu gebildete Zahlenfolge mit
eigentlich oder uneigentlich konvergiere und dabei den Grenzwert
habe.
Dann gilt: (I) Im Falle ist die zugehörige Reihe konvergent: . (II) Im Falle ist die zugehörige Reihe divergent: .
Hinweise zum Beweis Der Beweis beruht auf dem Majoranten- und Minorantenkriterium und darauf, dass die Reihe
für konvergiert und für divergiert.
Dabei kommt für den Konvergenzfall das Integralkriterium zum Tragen sowie die Tatsache, dass dann
ist.
Anwendung Für
hat man , was nach dem Kriterium einen Beweis für die Konvergenz der bekannten Reihe
darstellt. Für
hat man , womit das Kriterium die Divergenz der harmonischen Reihe beweist.
Anmerkung Über den „Zweifelsfall“ sind keine Aussagen hinsichtlich Konvergenz oder Divergenz zu machen. D. h., es können je nach vorgelegter Zahlenfolge beide Fälle eintreten.
Literatur
Einzelnachweise und Anmerkungen
Kategorie:Konvergenzkriterium