Bass-Serre-Bäume sind eine Konstruktion aus dem mathematischen Teilgebiet der Gruppentheorie, mit der Gruppenwirkungen von amalgamierten Produkten, HNN-Erweiterungen oder allgemeiner Fundamentalgruppen von Graphen von Gruppen auf Bäumen konstruiert werden können.
Sie sind nach Hyman Bass und Jean-Pierre Serre benannt. Definition Es sei ein Graph von Gruppen und seine Fundamentalgruppe. Der zugehörige Bass-Serre-Baum wird konstruiert wie folgt:
die Ecken sind die Kanten sind die Kante hat die Ecken und , für
Die Gruppe wirkt auf durch Linksmultiplikationen auf und .
ist ein Baum.Serre, op.cit., Theorem 12 in Chapter I
Struktursatz Es sei ein Graph von Gruppen und sein Bass-Serre-Baum. Dann sind die Stabilisatoren von Ecken bzw. Kanten isomorph zu bzw. für bzw. und der Quotient ist der dem Graph von Gruppen unterliegende Graph .
Beispiele Die beiden folgenden GraphenWeidmann, op.cit., Chapter 5 sind die Bass-Serre-Bäume eines freien Produkts bzw. einer HNN-Erweiterung.
Bass-Serre-Baum des freien Produkts : 640px|Bass-Serre-Baum des freien Produkts
Bass-Serre-Baum der Baumslag-Solitar-Gruppe : 640px|Bass-Serre-Baum der Baumslag-Solitar-Gruppe
Literatur Jean-Pierre Serre: Trees. Translated from the French original by John Stillwell. Corrected 2nd printing of the 1980 English translation. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. ISBN 3-540-44237-5
Weblinks Richard Weidmann:
Einzelnachweise
Kategorie:Geometrische Gruppentheorie