Der Satz von Lerch ist ein Lehrsatz der elementaren Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik. Er geht auf den österreichisch-tschechischen Mathematiker Matyáš Lerch zurück und beinhaltet eine Formel über Kongruenzen gewisser Potenzsummen für ungerade Primzahlen. Man bezeichnet die Formel auch als lerchsche Formel der elementaren Zahlentheorie. Ihre Herleitung beruht auf dem Satz von Wilson und dem kleinen fermatschen Satz.
Die Formel Die lerchsche Formel besagt: Jede Primzahl erfüllt die Kongruenz .
Beispiele
Herleitung der Formel nach Sierpiński Nach dem Satz von Wilson ist der Quotient
eine ganze Zahl.
In gleicher Weise sind nach dem kleinen Satz von Fermat die Quotienten für
ebenfalls ganze Zahlen.
Daraus folgt zunächst für
sowie .
Damit ergibt sich einerseits
und dannHier geht ein, dass bei der Multiplikation von -Terme aus zwei oder mehr Klammern das Produkt modulo den Wert Null hat. ,
Andererseits gilt nach dem binomischen Lehrsatz
und damitAn dieser Stelle kommt zum Tragen, dass und damit als Primzahl notwendigerweise ungerade ist. .
Zusammengenommen hat man also die Kongruenz .
Geht man mit dieser Kongruenz in die Gleichung ,
so ergibt sich schließlich .
Literatur
Einzelnachweise und Anmerkungen
Lerch, Satz von