Die zusammengesetzte Poisson-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Poisson-Verteilung und spielt eine wichtige Rolle bei Poisson-Prozessen und der Theorie der unendlichen Teilbarkeit. Im Gegensatz zu vielen anderen Verteilungen ist bei der zusammengesetzten Poisson-Verteilung nicht a priori festgelegt, ob sie stetig oder diskret ist. Sie sollte nicht mit der gemischten Poisson-Verteilung verwechselt werden.
Definition Ist eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert und sind unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, so heißt die Zufallsvariable
zusammengesetzt Poisson-verteilt . Sind die alle auf definiert, also diskret, so heißt diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt. In beiden Fällen schreibt man , wobei die Verteilung von ist. Wahrscheinlichkeitsdichten oder Wahrscheinlichkeitsfunktionen sowie Verteilungsfunktionen lassen sich nur in Spezialfällen geschlossen angeben, aber eventuell mit dem Panjer-Algorithmus approximieren.
Gelegentlich finden sich auch in der deutschen Literatur die englischen Begriffe compound Poisson und discrete compound Poisson.
Eigenschaften Erwartungswert Für den Erwartungswert gilt nach der Formel von Wald: . Varianz Nach der Blackwell-Girshick-Gleichung gilt
wenn die zweiten Momente von existieren. Dabei folgt die zweite Gleichheit aus dem Verschiebungssatz.
Schiefe Mittels der Kumulanten ergibt sich für die Schiefe .
Wölbung Für den Exzess ergibt sich mittels der Kumulanten .
Kumulanten Die kumulantenerzeugende Funktion ist ,
wobei die momenterzeugende Funktion von ist. Damit gilt für alle Kumulanten .
Momenterzeugende Funktion Die momenterzeugende Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der momenterzeugenden Funktion der : . Charakteristische Funktion Die charakteristische Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der charakteristischen Funktion der :
Wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion Sind die diskret, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion definiert und ergibt sich als Verkettung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion von und von zu .
Unendliche Teilbarkeit Eine zusammengesetzt Poisson-verteilte Zufallsvariable ist unendlich teilbar. Es lässt sich zeigen, dass eine Zufallsvariable auf genau dann unendlich teilbar ist, wenn die Zufallsvariable diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt ist.
Beziehung zu anderen Verteilungen Beziehung zur Poisson-Verteilung Ist fast sicher, so fallen Poisson-Verteilung und zusammengesetzte Poisson-Verteilung zusammen. Beziehung zur geometrischen Verteilung und zur negativen Binomialverteilung Da sowohl die geometrische Verteilung als auch die negative Binomialverteilung unendlich teilbar sind, handelt es sich um zusammengesetzte Poisson-Verteilungen. Sie entstehen bei Kombination mit der logarithmischen Verteilung. Die Parameter der negativen Binomialverteilung errechnen sich als und .
Weblinks
Literatur
Kategorie:Wahrscheinlichkeitsverteilung