Die inverse Halbgruppe ist ein Begriff aus dem mathematischen Teilgebiet der Algebra. Er verallgemeinert den Begriff der Gruppe. Dabei werden inverse Elemente ohne Bezugnahme auf ein neutrales Element definiert.
Definition Eine inverse Halbgruppe ist eine Halbgruppe mit der Eigenschaft, dass es zu jedem ein eindeutig bestimmtes , Inverses (in Abgrenzung zu dem inversen Element bezogen auf ein neutrales Element auch relatives Inverses) von genannt, gibt mit und .
Äquivalente Definitionen Mit Operationssymbol Eine Halbgruppe ist eine inverse Halbgruppe, wenn idempotente Elemente kommutieren und es eine weitere Operation gibt, sodass für alle gilt und .
Rein algebraisch Eine Halbgruppe ist eine inverse Halbgruppe, wenn es eine weitere Operation gibt und folgende Gleichungen für alle erfüllt sind:
Beispiele und Anwendungen Jede Gruppe ist eine inverse Halbgruppe, mit .
Jeder Halbverband ist eine inverse Halbgruppe, mit .
Die Definition einer „Meadow“ erhält man, indem man die Definition eines Körpers als speziellen unitären kommutativen Ring modifiziert: Anstatt außerdem zu fordern, dass eine Gruppe ist, wird gefordert, dass eine inverse Halbgruppe ist. Die Folge ist, dass „Meadows“ rein algebraisch axiomatisiert werden können. Die „Division“, definiert als Multiplikation mit dem Inversen, wird total; es ist .
Eigenschaften Für jedes Element einer inversen Halbgruppe ist immer idempotent. Zudem kann jedes idempotente Element in dieser Form dargestellt werden, da .
Wie in Gruppen ist und .
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Struktur