Der Satz von Euler der Vierecksgeometrie ist ein geometrischer Lehrsatz, der eine grundlegende Identitätsgleichung über den Zusammenhang zwischen den Seitenlängen eines Vierecks und den Längen seiner beiden Diagonalen angibt. Der Satz ist einer der vielen Beiträge des großen Schweizer Mathematikers Leonhard Euler zur Elementargeometrie.
Formulierung des Satzes rechts|hochkant=1|Bild zum Eulerviereck Der Satz lautet wie folgt:Friedrich Joseph Pythagoras Riecke (Hrsg.): Mathematische Unterhaltungen. Erstes Heft. 1973, S. 65 Gegeben sei ein konvexes Viereck der euklidischen Ebene. Auf den beiden Diagonalen und seien bzw. die beiden Mittelpunkte. Dann gilt:
oder .
Folgerung Aus dem Satz von Euler folgt unmittelbar die bekannte Parallelogrammgleichung.
Denn im Falle, dass ein Parallelogramm ist, folgt , also , sowie und und damit oder .
Hilfssatz rechts|hochkant=1|Bild zum Dreieck Der Satz von Euler lässt sich unter Zuhilfenahme des folgenden Hilfssatzes herleiten: Für ein Dreieck der euklidischen Ebene, dessen Seite den Mittelpunkt hat, gilt stets:
oder .
Die soeben genannte Gleichung – welche offenbar eine andere Version der Apollonios-Gleichung darstellt – wurde schon von Apollonios von Perge angegeben. Sie ist auch bei Pappus Alexandrinus zu finden.Riecke, op. cit., S. 31, 65Der Hilfssatz lässt sich sowohl aus dem Satz von Stewart als auch mit dem Kosinussatz herleiten.
Literatur Vgl. Artikel über Riecke auf Wikisource
Weblinks
Einzelnachweise und Anmerkungen
Kategorie:Vierecksgeometrie Euler (Vierecksgeometrie), Satz von Kategorie:Leonhard Euler als Namensgeber