Der Chudnovsky-Algorithmus ist eine von den Chudnovsky-Brüdern im Jahre 1988 entwickelte iterative Methode zur Berechnung beliebig vieler Nachkommastellen der Kreiszahl π. Jede Iteration liefert durchschnittlich 14,82 (falsch, es sind exakt 3*log(53360), also ca. 14.1816) weitere Dezimalstellen.FH Graubünden: Algorithmus, Informationen über die Weltrekordberechnung 2021, abgerufen am 26. März 2022 Der Algorithmus basiert auf der Konvergenz einer verallgemeinerten hypergeometrischen Reihe:
Dieser Algorithmus wurde seitdem für die meisten Weltrekordberechnungen eingesetzt, siehe Rekorde der Berechnung von π.
Entwicklung Heegner-Punkte können dabei helfen, sehr schnell konvergente Reihen zu finden, die gegen die Kreiszahl konvergieren. Vorläufer solcher Reihentypen waren schon von Srinivasa Ramanujan zu Beginn des 20. Jahrhunderts entdeckt worden. Die Brüder David und Gregory Chudnovsky nutzten schließlich die Punkte mit natürlichen Zahlen , um die Arbeiten von Ramanujan weiterzuführen. Dabei fanden sie eine für die j-Funktion und all diese Heegner-Punkte gültige Reihenidentität
die den durch Eisensteinreihen definierten Term
beinhaltet.Nayandeep Deka Baruah, Bruce Berndt, Heng Huat Chan: Ramanujan’s series for : A survey. Mathematics Student, S. 576. Dabei bezeichnet die Fakultät von . Daraus konnte nach Einsetzen des Heegner-Punkts der Chudnovsky-Algorithmus entwickelt werden, mit Hilfe dessen die Kreiszahl extrem schnell auf viele Nachkommastellen berechnet werden kann. Er nutzt aus, dass der Wert ganzzahlig ist. Über die Methoden, wie man allgemein berechnet, kann man bereits diese und weitere Kuriositäten beobachten. Man weiß wegen der Fourier-Entwicklung , dass für Werte mit größerem Imaginärteil die Zahl bereits sehr nahe an liegt. In der Tat findet manJan Hendrik Bruinier, Gerard van der Geer, Günter Harder, Don Zagier: The 1-2-3 of Modular Forms. Lectures at a Summer School in Nordfjordeid, Norway, Springer-Verlag, Berlin/Heidelberg, S. 73.
Ein ausführlicher Beweis dieser Formel findet sich hier:
Diese ist ähnlich der Ramanujan-Formel zur Ermittlung von π und ist ein Beispiel der Ramanujan-Sato-Reihen.
Einzelnachweise
Kategorie:Algorithmus