Fehlerfunktion

360px|mini|Graph der Fehlerfunktion

Als Fehlerfunktion oder Gaußsche Fehlerfunktion bezeichnet man in der Theorie der speziellen Funktionen die durch das Integral

definierte Funktion.Bronstein, Semendjajew, Taschenbuch der Mathematik, 6. Auflage, S. 782 Damit ist die Fehlerfunktion eine Stammfunktion von , und zwar die einzige ungerade (gerade Funktionen mit Stammfunktion besitzen genau eine ungerade solche).

Für ein reelles Argument ist eine reellwertige Funktion; zur Verallgemeinerung auf komplexe Argumente siehe unten.

Die Fehlerfunktion ist eine Sigmoidfunktion, findet Anwendung in der Statistik und in der Theorie der partiellen Differentialgleichungen und hängt eng mit dem Fehlerintegral zusammen.

Bezeichnungen

Die Bezeichnung kommt von error function.

Taylor-Reihe Der Integrand der Fehlerfunktion hat folgende Reihendarstellung:

Auf Kreisschreiben konvergieren die Taylorsummen gleichmäßig gegen den Integranden der Fehlerfunktion. Daher kann man die Stammfunktion auf bilden und mit dem Identitätssatz kann man die Stammfunktion des Integranden als ganze Funktion auf erweitern. Dies liefert eine Stammfunktion von :

Mit kann man diese Potenzreihendarstellung für verwenden.

Komplementäre Fehlerfunktion Die komplementäre (bzw. konjugierte) Fehlerfunktion ist gegeben durch

Punktsymmetrie des Graphen Die Punktsymmetrie des Graphen der Fehlerfunktion ergibt sich direkt über die ungeraden Exponenten mit . Daher erfüllen und die folgenden Eigenschaften:

Verallgemeinerte Fehlerfunktion Die verallgemeinerte Fehlerfunktion wird durch das Integral

definiert.

Eigenschaften Es gilt:

Die Fehlerfunktion ist ungerade:

Das uneigentliche Integral von bis ist

Außerdem gilt:

Verwendung

Verwandtschaft mit der Normalverteilung

Die Fehlerfunktion hat eine gewisse Ähnlichkeit mit der Verteilungsfunktion einer Normalverteilung. Sie hat jedoch die Bildmenge , während eine Verteilungsfunktion zwingend Werte aus dem Bereich annehmen muss.

Es gilt für die Standardnormalverteilung

bzw. für die Verteilungsfunktion einer beliebigen Normalverteilung mit Standardabweichung und Erwartungswert

Messreihe - Messfehler Falls die Abweichungen der einzelnen Ergebnisse einer Messreihe vom gemeinsamen Mittelwert durch eine Normalverteilung mit Standardabweichung und Erwartungswert 0 beschrieben werden können, dann ist die Wahrscheinlichkeit, mit der der Messfehler einer einzelnen Messung zwischen und liegt (für positives ).

Pseudozufallszahlen Die Fehlerfunktion kann verwendet werden, um mit Hilfe der Inversionsmethode normalverteilte Pseudozufallszahlen zu generieren.Für eine konkrete Implementierung siehe z. B. Peter John Acklam:

Wärmeleitungsgleichung

Die Fehlerfunktion und die komplementäre Fehlerfunktion kommen beispielsweise in Lösungen der Wärmeleitungsgleichung vor, wenn die Anfangsbedingung durch die Signum- oder Heaviside-Funktion vorgegeben ist.

Numerische Berechnung Die Fehlerfunktion ist wie die Verteilungsfunktion der Normalverteilung nicht durch eine geschlossene Funktion darstellbar und muss numerisch bestimmt werden.

Für kleine reelle Werte erfolgt die Berechnung mit der Reihenentwicklung

für große reelle Werte mit der Kettenbruchentwicklung

Für den kompletten Wertebereich gibt es folgende Approximation mit einem maximalen Fehler von :Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press, 1992, ISBN 0-521-43064-X, S. 214.

mit

und

Eine für alle reellen Werte von schnell konvergierende EntwicklungH. M. Schöpf, P. H. Supancic: On Bürmann’s Theorem and Its Application to Problems of Linear and Nonlinear Heat Transfer and Diffusion. In: The Mathematica Journal, 2014. doi:10.3888/tmj.16-11. erhält man unter Verwendung des Theorems von Heinrich H. Bürmann:E. W. Weisstein: Bürmann’s Theorem. mathworld

Durch geeignete Wahl von und ergibt sich daraus eine Näherung, deren größter relativer Fehler bei kleiner als ist:

Wertetabelle 0,000,00000001,00000001,300,93400790,06599210,050,05637200,94362801,400,95228510,04771490,100,11246290,88753711,500,96610510,03389490,150,16799600,83200401,600,97634840,02365160,200,22270260,77729741,700,98379050,01620950,250,27632640,72367361,800,98909050,01090950,300,32862680,67137321,900,99279040,00720960,350,37938210,62061792,000,99532230,00467770,400,42839240,57160762,100,99702050,00297950,450,47548170,52451832,200,99813720,00186280,500,52049990,47950012,300,99885680,00114320,550,56332340,43667662,400,99931150,00068850,600,60385610,39614392,500,99959300,00040700,650,64202930,35797072,600,99976400,00023600,700,67780120,32219882,700,99986570,00013430,750,71115560,28884442,800,99992500,00007500,800,74210100,25789902,900,99995890,00004110,850,77066810,22933193,000,99997790,00002210,900,79690820,20309183,100,99998840,00001160,950,82089080,17910923,200,99999400,00000601,000,84270080,15729923,300,99999690,00000311,100,88020510,11979493,400,99999850,00000151,200,91031400,08968603,500,99999930,0000007

Komplexe Fehlerfunktion mini|Die komplexe Fehlerfunktion im Bereich und . Der Farbton gibt den Winkel an, die Helligkeit den Betrag der komplexen Zahl. Die Definitionsgleichung der Fehlerfunktion kann auf komplexe Argumente ausgeweitet werden:

In diesem Fall ist eine komplexwertige Funktion. Unter komplexer Konjugation gilt .

Imaginäre Fehlerfunktion Die imaginäre Fehlerfunktion ist gegeben durch

mit der Reihenentwicklung

.

Zur Berechnung können und weitere verwandte Funktionen auch durch die Faddeeva-Funktion ausgedrückt werden. Die Faddeeva-Funktion ist eine skalierte komplexe komplementäre Fehlerfunktion und auch als relativistische Plasma-Dispersions-Funktion bekannt. Sie ist mit den Dawson-Integralen und dem Voigt-Profil verwandt. Eine numerische Implementierung von Steven G. Johnson steht als C-Bibliothek libcerf zur Verfügung.Steven G. Johnson, Joachim Wuttke: libcerf.

Literatur

Milton Abramowitz, Irene A. Stegun (Hrsg.): Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1972, Chapter 7. William H. Press, Saul A. Teukolsky, William T. Vetterling, Brian P. Flannery: Numerical Recipes in C. 2. Auflage. Cambridge 1992, S. 220 ff. (PDF; 76 kB) Bronstein, I.N. und Semendjajew, K.A., Taschenbuch der Mathematik, 6. Auflage, Verlag Harri Deutsch, Frankfurt am Main 2005, S. 782

Einzelnachweise

Kategorie:Mathematische Funktion