Cauchy-Elastizität

Cauchy-Elastizität (von Augustin-Louis Cauchy und griechisch ελαστικός elastikos „anpassungsfähig“) ist ein Materialmodell der Elastizität. Elastizität ist die Eigenschaft eines Körpers, unter Krafteinwirkung seine Form zu verändern und bei Wegfall der einwirkenden Kraft in die Ursprungsform zurückzukehren (Beispiel: Sprungfeder). Als Ursache der Elastizität kommen Verzerrungen des Atomgitters (bei Metallen), das Dehnen von Molekülketten (Gummi und Kunststoffe) oder die Änderung des mittleren Atomabstandes (Flüssigkeiten und Gase) in Frage.

In der Cauchy-Elastizität sind die Reaktionskräfte bei der Verformung eines Körpers ausschließlich von der aktuellen Verformung bestimmt. Solche Zusammenhänge beschreiben beispielsweise die Zustandsgleichungen der Gase. Ist der Ausgangszustand kräftefrei, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden. Verschiedene Verformungspfade, die am Ende dieselben Verformungen zur Folge haben, resultieren am Ende in denselben Reaktionskräften. Auch die Deformationsgeschwindigkeiten haben auf Materialgleichungsebene keinen Einfluss auf die Reaktionen. Cauchy-Elastizität ist eine zeitunabhängige Materialeigenschaft.

Dissipative Vorgänge wie viskoses oder plastisches Fließen sind damit ausgeschlossen, was bei realen Materialien innerhalb ihrer Elastizitätsgrenze gewährleistet ist. Reale Flüssigkeiten, Gase und manche Feststoffe (wie Eisen und Glas) sind bei schnellen, geringfügigen Volumenänderungen (z. B. bei Schallwellen) in guter Näherung elastisch. Die Elastizitätsgrenze kann bei Feststoffen bei langsamen und hinreichend kleinen Verformungen eingehalten werden, die in vielen Anwendungen, insbesondere im technischen Bereich, vorliegen.

Obwohl die Reaktionskräfte in einem Cauchy-elastischen Material vom zurückgelegten Verformungsweg unbeeinflusst sind, kann bei Feststoffen die auf verschiedenen Verformungswegen (mit gleichem Start- und Endpunkt) geleistete Formänderungsarbeit unterschiedlich groß ausfallen, was in Abwesenheit eines Dissipationsmechanismus im Widerspruch zu thermodynamischen Prinzipien steht. Wegunabhängigkeit der Formänderungsarbeit führt zu Hyperelastizität, die ein Spezialfall der Cauchy-Elastizität ist. Weitere Bedingungen an die Modellierung der Cauchy-Elastizität können aus dem Prinzip der materiellen Objektivität, demzufolge das Materialverhalten bezugssysteminvariant ist, und im Fall der Isotropie abgeleitet werden.

Viele elastische Materialien wie Stahl, Gummi, Plastik, Holz und Beton aber auch biologische Gewebe können in guter Näherung mit Cauchy-Elastizität beschrieben werden.

Definition In einem Cauchy-elastischen Material ist der Cauchy’sche Spannungstensor eine Funktion nur des vorliegenden Deformationsgradienten :

Diese Funktion wird im Allgemeinen vom Ausgangszustand des Körpers, insbesondere anfänglich vorhandenen Eigenspannungen, abhängen. Zumeist wird aber der undeformierte Grundzustand, in dem der Deformationsgradient gleich dem Einheitstensor ist, spannungsfrei sein:

Makroskopisches Verhalten mini|Kraft-Weg-Diagramm im einachsigen Zug-Versuch bei nichtlinearer Elastizität Makroskopisch lassen sich folgende Eigenschaften an einem Cauchy-elastischen Körper beobachten: Bei gegebener Verformung (Fluide: Volumenänderung) haben die Reaktionskräfte (der Druck) unabhängig von der Vorgeschichte immer denselben Wert. Ist der Ausgangszustand unbelastet, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden. Bei elastischen Flüssigkeiten und Gasen ist der Zustand durch das eingenommene Volumen bestimmt, das unter gleichen Bedingungen immer gleich ist. Das Materialverhalten ist geschwindigkeitsunabhängig. Die Geschwindigkeit, mit der eine Verformung (Fluide: Volumenänderung) stattfindet, hat keinen Einfluss auf den Widerstand (Druck), den der Körper der Verformung entgegensetzt. Im einachsigen Zugversuch erfolgen Be- und Entlastung stets entlang des gleichen Weges so wie im nebenstehenden Bild. Bei Flüssigkeiten und Gasen entspricht das einem Kompressions- und Expansionsversuch.

Bei hinreichend kleinen Verformungen ist die Kraft-Weg-Beziehung bei Feststoffen linear und kann die Elastizität mit Moduln beschrieben werden. Weil die aufzuwendende Kraft und der zurückgelegte Weg bei einer Deformation maßgeblich von den Dimensionen des Körpers abhängen, wird die Kraft auf ihre Wirkfläche und der Weg auf eine geeignete Abmessung des Körpers bezogen. Die bezogene Kraft ist die Spannung und der bezogene Weg die Dehnung. Die Moduln quantifizieren das Verhältnis zwischen den Spannungen und den Dehnungen und sind eine Materialeigenschaft. Der Elastizitätsmodul gilt bei einachsigem Zug, der Schubmodul bei Scherung und der Kompressionsmodul bei allseitigem Druck. Bei einachsigem Zug tritt nicht nur in Zugrichtung eine Verformung auf, sondern auch quer dazu, was die dimensionslose Querdehnzahl erfasst. Die vollständige Beschreibung der isotropen linearen Cauchy-Elastizität benötigt nur zwei dieser Größen. Bei anisotropem linearem Verhalten werden maximal 36 Parameter benötigt (Erst die Annahme der Hyperelastizität erlaubt die Reduktion auf 21 Parameter.)

Materielle Objektivität

Das Prinzip von der materiellen Objektivität besagt, dass das Materialverhalten bezugssysteminvariant ist oder, genauer, Invariant gegenüber einer euklidischen Transformation des Bezugssystems eines Beobachters sind. Ausschlag gebend ist dabei die Rotation des bewegten Systems relativ zum Körper. Die Drehung des Bezugssystems des bewegten Beobachters relativ zum ruhenden wird mit einem orthogonalen Tensor aus der speziellen orthogonalen Gruppe

beschrieben. Die Menge enthält alle Tensoren zweiter Stufe, bezeichnet die Transposition, die Inverse und „det“ die Determinante. Die Tensoren aus dieser Gruppe führen Drehungen ohne Spiegelung aus. Stellt nun der relativ zum Körper ruhende Beobachter in einem materiellen Punkt den Deformationsgradienten fest, so misst der bewegte Beobachter durch die euklidische Transformation

Die Rotation transformiert den Cauchy’schen Spannungstensor so, dass der bewegte Beobachter

feststellt. Die Bewegungsmöglichkeiten der Beobachter sind uneingeschränkt, so dass die obige Gleichung für alle orthogonalen Tensoren zutrifft und deshalb

gelten muss. Diese Bedingung ist in elastischen Fluiden immer erfüllt, während bei elastischen Feststoffen eine spezielle Modellierungsrichtlinie einzuhalten ist.

Elastische Fluide Fluid ist der Sammelbegriff für Flüssigkeiten und Gase. Die elastische Flüssigkeit ist auch als ideale Flüssigkeit oder Euler-Flüssigkeit bekannt und das elastische Gas ist das reibungsfreie Gas. Innere Reibung, die sich in Viskosität und damit in Schubspannungen zeigen würde, wird in elastischen Fluiden vernachlässigt, weshalb der Spannungstensor dort Diagonalgestalt hat. Des Weiteren ist jedes Fluid auch isotrop. Wird nun ein Fluid gedanklich in zwei Teile zerschnitten, dann bilden sich an den Schnittflächen Schnittspannungen aus, die senkrecht zur Schnittfläche sind, denn der Druck in einem elastischen Fluid wirkt immer senkrecht auf begrenzende Flächen. Nun muss in einer isotropen Flüssigkeit die Normalspannung für alle Orientierungen der Schnittfläche dieselbe sein. Dies ist aber nur dann möglich, wenn der Spannungstensor ein Vielfaches des Einheitstensors ist:Bestehorn (2006), S. 52.

Die skalare Funktion entspricht dem negativen Druck , der in Fluiden kinematisch nur von der Volumenänderung , der Dichte

oder dem spezifischen Volumen

abhängtHaupt (2000), S. 279ff. Der Materialparameter ist die Dichte im Ausgangszustand bei . Ein Spannungstensor dieser Form

wird Drucktensor genannt.

Materielle Objektivität von Fluiden Bei Fluiden sind die Spannungen also proportional zum Einheitstensor und hängen nur von der Determinante des Deformationsgradienten ab, weshalb obige Bedingung für Objektivität

immer erfüllt ist:

Materialgleichungen für elastische Fluide Viele Materialgleichungen für elastische Fluide werden Zustandsgleichung genannt, was unterstreicht, dass der Druck in ihnen unter gleichen Bedingungen (Temperatur, Volumen, Stoffmenge) immer gleich ist, was ja Cauchy-Elastizität sicherstellt. Aus dem Volumen und der Stoffmenge ergibt sich die Dichte. Der denkbar einfachste Zusammenhang zwischen Druck und Dichte ist die Proportionalität

die das ideale Gas definiert, in dem der Proportionalitätsfaktor das Produkt aus einem Materialparameter R und der absoluten Temperatur T ist. Je niedriger der Druck und je höher die Temperatur ist, desto mehr verhält sich ein reales Gas wie ein ideales.

Mit Virialkoeffizienten kann die Ideale-Gas-Gleichung zu

erweitert werden, um so auch reale Gase und Phasenübergänge zu beschreiben. Der Faktor k ist die Boltzmann-Konstante. Jedoch ist auch diese Gleichung nur für verdünnte Gase geeignet.Bestehorn , S. 57.

Alternativ kann der Druck auch als Funktion des spezifischen Volumens v formuliert werden, wie z. B. in der Van-der-Waals-Gleichung

mit Materialparametern a, b und R.

Konservative Fluide Ein barotropes Cauchy-elastisches Fluid ist auch hyperelastisch, denn die spezifische Spannungsleistung ist wegen

die materielle Zeitableitung einer skalaren Funktion w, was nur in hyperelastischen Materialien der Fall ist. Die materielle Zeitableitung wird durch den Überpunkt oder D/Dt unten angezeigt. In der Gleichungskette wurde das Frobenius-Skalarprodukt „:“ des Drucktensors mit dem Verzerrungsgeschwindigkeitstensor d :=½ (l + lT) benutzt, der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ist. Die Divergenz des Geschwindigkeitsfeldes ist gleich der Spur des Geschwindigkeitsgradienten

Die auf die Dichte bezogene Divergenz ist aufgrund der lokalen räumlichen Massenbilanz

die materielle Zeitableitung des spezifischen Volumens. Daraus ergab sich schließlich die spezifische Formänderungsenergie

deren materielle Zeitableitung im Fall der Barotropie, wie in der Gleichungskette oben gezeigt, die spezifische Spannungsleistung des elastischen Fluides ist. Die Kompressionsleistung des Druckes wird im barotropen Fluid also vollständig und dissipationslos in Formänderungsenergie umgesetzt, weswegen elastische barotrope Fluide ausnahmslos konservativ sind.

Inkompressible Flüssigkeiten In einer inkompressiblen elastischen Flüssigkeit ist die Dichte in guter Näherung konstant und der Druck ergibt sich nicht mehr aus der konstitutiven Gleichung, sondern aus den Naturgesetzen und den Randbedingungen, kann aber immer noch vom Ort und der Zeit abhängen

Eulersche Gleichungen der Strömungsmechanik Einsetzen des Drucktensors in die Impulsbilanz in der eulerschen Fassung führt auf die Eulerschen Gleichungen der Strömungsmechanik, die zusammen mit der Kontinuitätsgleichung reibungsfreie Strömungen modellieren. Die eulerschen Gleichungen sind eine gute Näherung bei laminaren Strömungen, wenn fluiddynamische Grenzschichten an den Rändern der Strömung keine wesentliche Rolle spielen.

Elastische Festkörper Aus kontinuumsmechanischer Sicht unterscheiden sich Festkörper von Fluiden vor allem in zweierlei Hinsicht: Erstens vermögen sie im Gleichgewicht Scher- und Zugkräften standzuhalten und zweitens können sie anisotrop sein.

Materielle Objektivität von elastischen Festkörpern Die in #Materielle Objektivität aufgeschriebene Bedingung für die Bezugssysteminvarianz

wird bei Festkörpern – anders als bei den Fluiden – nicht automatisch eingehalten, kann aber wie folgt sichergestellt werden.

Der Deformationsgradient wird polar in einen orthogonalen Tensor und einen symmetrisch positiv definiten rechten Strecktensor zerlegt:

Nun kann gewählt werden, so dass sich wegen