Die von Hans-Joachim Arnold begründete Geometrische Relationenalgebra ist eine Spezialisierung der Geometrischen AlgebraH. Grassmann: Ueber den Ort der Hamilton’schen Quaternionen in der Ausdehnungslehre. In: Mathematische Annalen, 1877.W. K. Clifford: On the classification of geometric algebras. In: R. Tucker (Hrsg.): Mathematical Papers. Macmillian, London 1882, S. 397–401.E. Artin: Geometric Algebra. Interscience Publishers. New York 1957. und somit Teilgebiet einerseits der Inzidenz- bzw. Synthetischen Geometrie und andererseits der Universellen Algebra. Ausgehend von der Zielsetzung der Geometrischen Algebra, mit Objekten der geometrischen Anschauung wie Ebenen, Winkel und Kreisen sowie mit geometrischen Operationen wie Schnitten von verschiedenen Objekten oder Transformationen sehr einfach zu rechnen und sich dabei im Wesentlichen der geometrischen Interpretation von algebraischen Systemen wie Vektoralgebren, Quaternionen etc. zu bedienen, werden in der Geometrischen Relationenalgebra (fast) ausschließlich Relationensysteme zur algebraischen Beschreibung von geometrischen Artefakten verwendet. Dieser seit Mitte der 1970er Jahre entwickelte Kalkül beantwortet erstmals vollständig die Frage nach einer synonymen, also isomorphen – und nicht wie bisher mit Hilfe von Ternärkörpern und anderen Modellen nur isotopen – algebraischen Beschreibung aller affinen und projektiven Geometrien und ermöglicht durch das Prinzip „operator operandum“ einen intuitiv einfachen Zugang zu einer Fernraumgeometrie. Bedeutendster Aspekt ist, dass sich für aufwändig zu beschreibende geometrische Schnittpunktsätze (z. B. affiner und projektiver Satz von Desargues, Invarianzsatz von Hessenberg) in der Geometrischen Relationenalgebra notwendige und hinreichende Bedingungen mit einfachen „Rechenregeln“, also das Hintereinanderausführen von Relationen in den „Homogenitätsregeln“, angeben und beweisen lassen („Prinzip der konstruktiven Erweiterbarkeit“). Die Methodik findet darüber hinaus Anwendungen in den Kognitionswissenschaften und insbesondere in der Systemtheorie: Hier werden mit dem relationalen Kalkül so unterschiedliche Systeme wie zeitdiskrete, zeitkontinuierliche (lineare und nichtlineare) dynamische Systeme und Fuzzy-Systeme inklusive wichtiger Systemeigenschaften mit derselben mathematischen Sprache (synonym) beschrieben. Zentrale Begriffe der Geometrischen Relationenalgebra sind geometrische Relative, Regel-Relative und Handlungsrelative – und die daraus abgeleiteten Derivate.
Methodik
In der Geometrischen Relationenalgebra werden geometrische Konfigurationen wie Geraden, Winkel, Dreiecke als Systeme von Relationen einer geeigneten Relationenalgebra, die auf einzelne Punkte einer Punktmenge angewendet werden, dargestellt. So ist beispielsweise eine Gerade in einer affinen Geometrie mit Punktmenge in der synonymen Beschreibung eines affinen Relativs, also einer Menge zweistelliger Relationen auf , darstellbar als für gegebenes , welches eine Äquivalenzklasse paralleler Geraden repräsentiert. lässt sich dann so verstehen, dass die Gerade durch und in dieser Klasse liegt, siehe weiter das Übergangsverfahren in 2.1.1.1. Mit diesem Ansatz war es möglich, das zentrale Anliegen der Geometrischen Algebra, eine synonyme algebraische Kennzeichnung aller affinen und projektiven Geometrien bereitzustellen, abschließend mit Begrifflichkeiten aus der Relationenalgebra zu lösen. In dieser Fragestellung des letzten Jahrhunderts zeigten die bis dato bereitgestellten Strukturen der universellen Algebra wie Vektorräume über Schiefkörpern, Ternärkörper, Quasimoduln etc. wegen fehlender Koordinatenbereiche oder wegen Abhängigkeiten von der Wahl eines für das Übergangsverfahren benötigten Koordinatensystems eklatante Schwächen auf: So sind die von Marshall Hall eingeführten Ternärkörper zur Beschreibung beliebiger projektiver Ebenen unbefriedigend, da die Kennzeichnung i. A. nicht eindeutig, sondern nur noch isotop ist, d. h., ein und dieselbe projektive Ebene kann zwei nicht isomorphe Ternärkörper induzieren.M. Hall: Projective Planes. In: Trans. Amer. Math. Soc. 54, 1943, S. 229–277. Auch die von Emanuel Sperner eingeführten Quasimoduln weisen dieselben Mängel aufE. Sperner: Affine Räume mit schwacher Inzidenz und zugehörige algebraische Strukturen. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. 204, 1960, S. 205–215. doi:10.1515/crll.1960.204.205.. Erschwerend kommt hinzu, das bei manchen Algebraisierungen die Gültigkeit des Satzes von Desargues vorausgesetzt werden muss. Seit der Konstruktion der Moulton-Ebene kennt man sogar nicht-desaguessche affine Ebenen, wobei allerdings jeder affine Raum desarguessch ist.
Mit den von Hans-Joachim Arnold in den 1970er Jahren entwickelten zweistelligen affinen und projektiven Relativen (die letzteren wurden von ihm zunächst als projektive Multigruppen bzw. projektive Punktoperationen in Anlehnung an frühere Bezeichnungen von Walter PrenowitzW. Prenowitz: Projective geometries as multigroups. In: Amer. J. Math. (65) 1943, S. 235–256. bezeichnet), die aus einer Menge von Relationen bestehen, die auf der Punktmenge der vorgelegten Geometrie operieren, kehren die Übergangsverfahren der Algebraisierung und Geometrisierung synonym, d. h. bis auf Isomorphie, einander umH.-J. Arnold: Der projektive Abschluß affiner Geometrien mit Hilfe relationentheoretischer Methoden. In: Abhandlungen aus dem Mathematischen Seminar der Universität Hamburg. Universität Berlin, Hamburg (40) 1974, S. 197–214. doi:10.1007/BF02993598.. Die operatorisch auf der Grundmenge einwirkenden Elemente der Relationenmenge werden in einem weiteren Schritt selbst auch Gegenstände eines sekundären Operierens, vermittels des Relationenproduktes. Das sich damit ausdrückende Prinzip „operator operandum“ des Algebraisierens findet seine direkte Anwendung in der Ableitung der projektiven Multigruppen, die der algebraischen Beschreibung der projektiven Fernraumstruktur der zugrundegelegten Geometrie dienen. Ein weiterer Vorteil der relationenalgebraischen Methodik liegt in ihrer „konstruktiven Erweiterbarkeit“: Ohne die gewählte Sprache der Relationenalgebra verlassen zu müssen, ist dieser Kalkül geeignet, für reichhaltige geometrische Zusatzaxiome (Schließungssätze) äquivalente einfache und gut handhabbare Rechenregeln anzugeben. Insbesondere wird die spätestens seit Hilbert’s Grundlagen der Geometrie aufgeworfenen Fragestellung der Geometrischen Algebra, ob eine vorgelegte Geometrie desarguessch ist, auf ihrer nunmehr vorhandenen algebraischen Entsprechung mit der Gültigkeit einer bestimmten Verknüpfungsregel der zugrundeliegenden Relationen – der affinen oder projektiven Homogenitätsregel – beantwortet. Die bisher angewendeten Kalküle der Universellen Algebra liefern dazu lediglich Umschreibungen der geometrischen Aussagen, die über das geometrisch-kombinatorische Arbeiten mit Schnittpunkt-Konfigurationen noch nicht hinausgehen.
Die Ergänzung der affinen Relative um einen RichtungsbegriffH.-J. Arnold: Richtungsalgebren. In: Contributions to Geometry. 1979, S. 379–382. . ist nicht nur adäquate Beschreibung von angeordneten Geometrien, sondern liefert auch Erkenntnisse in der Kognitionstheorie: Der von den Entwicklungspsychologen Jean Piaget und Hans Aebli geprägte Begriff des Handlungsschemas wird mit binären Handlungsfeldern interpretiert, die wiederum beschreibbar zu ihrer relationalen Algebraisierung durch affine Richtungsrelative sind.H.-J. Arnold: Über die Vermutung der didaktischen Relevanz einer neuen geometrisch-algebraischen Anordnungsaxiomatik. In: Mitteilungen der mathem. Gesellschaft in Hamburg. Band X Heft 6, 1978.
Die Sprache der Geometrischen Relationenalgebra erweist sich als so mächtig, dass sie neben den etablierten differentialalgebraischenT. Wey: Nichtlineare Regelungssysteme. Ein differentialalgebraischer Ansatz. B.G. Teubner, Stuttgart 2002. bzw. differentialgeometrischenH. Schwarz: Nichtlineare Regelungssysteme – Systemtheoretische Grundlagen. Oldenburg, München 1991. Kalkülen eine weitere MethodeH.-J. Arnold: Der Systembegriff der Kontrolltheorie und Regel-Relative. In: Results in Mathematics. Birkhäuser, Basel (28) 1995, S. 195–208. doi:10.1007/BF03322252. zur (synonymen) Beschreibung beliebiger linearer und nichtlinearer sowie Fuzzy-SystemeH. J. Zimmermann: Fuzzy Sets, Decision Making and Expert Systems. Kluwer, Boston/USA 1987. doi:10.1007/978-94-009-3249-4. der Regelungstheorie bereitstellt und darüber hinaus in der Lage ist, erstmals geometrische Schließungssätze in den Zustandsräumen der dynamischen Systeme mit dem entsprechenden relationalen Systemkalkül anzugeben.
Grundlegende Begriffe und Ergebnisse Synthetische Geometrie Synonyme Zusammenhänge Affiner Teil
Man spricht von einem n-stelligen Relativ mit , wenn gegeben sind: eine Menge von Punkten eine Menge von -stelligen Relationen auf der Grundmenge
Ein zweistelliges Relativ heißt einfach graphisch, wenn es die folgenden Eigenschaften erfüllt: Scharf einfache Transitivität: . Zu zwei vorgegebenen Punkten gibt es genau eine „Verbindungs“-Relation , man setzt: Abgeschlossenheit bezüglich Gleichheitsrelation: . Gleichbedeutend ist dies damit, dass für die Gleichheitsrelation auf gilt: . Abgeschlossenheit bezüglich Inversen: . Die inverse Relation (Umkehrrelation) zu einer gegebenen Relation ist auch in enthalten. Linkstotalität:. Die Relationen genügen einer gewissen Reichhaltigkeit.
Ein zweistelliges, einfach graphisches Relativ heißt homogen, wenn gilt:
Diese Formel wird als zweistufige Homogenitätsregel bezeichnet, sie ist äquivalent zu folgendem Ausdruck:
Ein zweistelliges, einfach graphisches und homogenes Relativ heißt affines Richtungsrelativ, wenn die Relationen folgenden Eigenschaften genügen: Streng alternierende Relationen: Idempotente Relationen: Antisymmetrische Relationen: Kommutierende Relationen:
Man spricht von einem affinen Relativ , wenn das Relativ einfach graphisch und homogen ist und die Relationen in symmetrisch alternierend sind, d. h.: Symmetrie: Alternierende Relationen:
Jedes affine Richtungsrelativ stiftet ein affines Relativ , wenn gesetzt wird:
Man spricht von einer affinen Geometrie , wenn gegeben sind: eine Menge von Punkten eine Menge von Geraden die mengentheoretische Elementbeziehung als Inzidenzrelation, eine Parallelenrelation auf
und wenn die folgenden Eigenschaften gelten:
Existenz und Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden: Durch zwei verschiedene Punkte geht genau eine Gerade mit . Man setzt für diese eindeutig bestimmte Verbindungsgerade auch . Geraden sind Verbindungsgeraden: Auf jeder Gerade liegen mindestens zwei Punkte. Die Parallelenrelation ist eine Äquivalenzrelation Euklidisches Parallelenpostulat: Durch jeden Punkt geht genau eine Gerade, die zu einer gegebenen Gerade parallel ist. Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke (Tamaschke-Axiom): Wenn ein Dreieck (drei nicht auf einer Gerade liegende Punkte) gegeben ist und zwei Punkte und derart, dass die Gerade parallel zu der Geraden liegt, so gibt es einen Punkt so, dass auch parallel zu und parallel zu liegen.
Aus einem affinen Relativ entsteht durch Anwendung des folgenden Verfahrens eine affine Geometrie
Aus einer affinen Geometrie entsteht durch Anwendung des Verfahrens ein affines Relativ
Für alle affinen Relative und alle affinen Geometrien gilt:
Affine Relative und affine Geometrien sind synonym zueinander, der (H2)-Homogenitätsregel auf der algebraischen Seite entspricht die Konstruierbarkeit parallelähnlicher Dreiecke auf der geometrischen Seite.
Die Klasse der dreistelligen affinen Relative erweist sich ebenfalls als synonym zur Klasse der affinen Geometrien. Ein zweistelliges, einfach graphisches und homogenes Relativ , also ein Relativ, dessen Relationenmenge scharf einfach transitiv, abgeschlossen gegenüber Gleichheitsrelation und Inversion, linkstotal und homogen ist, definiert mit
ein einfach graphisches dreistelliges Relativ .