Die asymptotische Erwartungstreue, Georgii: Stochastik. 2009, S. 200. auch asymptotische Unverfälschtheit Rüschendorf: Mathematische Statistik. 2014, S. 351. oder asymptotische Unverzerrtheit Czado, Schmidt: Mathematische Statistik. 2011, S. 105. genannt, ist eine Eigenschaft eines Punktschätzers in der mathematischen Statistik. Anschaulich sind asymptotisch erwartungstreue Schätzer solche, die für endliche Stichproben nicht erwartungstreu sind, also eine systematische Verzerrung aufweisen. Diese verschwindet aber im Grenzwert bei immer größer werdenden Stichprobenumfängen.

Definition Gegeben sei ein statistisches Modell , welches das unendliche Wiederholen eines Experimentes formalisiert. Des Weiteren sei eine Folge von Punktschätzern

gegeben und eine zu schätzende Funktion .

Dann heißt die Folge asymptotisch erwartungstreu, wenn für alle .

Dabei bezeichnet den Erwartungswert bezüglich des Wahrscheinlichkeitsmaßes .

Beispiel Ein typischer asymptotisch erwartungstreuer Schätzer entsteht im Normalverteilungsmodell, wenn man bei unbekanntem Erwartungswert die Varianz mittels der Maximum-Likelihood-Methode schätzt.

Das statistische Modell ist gegeben durch

für , der Maximum-Likelihood-Schätzer für eine Stichprobe der Größe durch ,

die (unkorrigierte) Stichprobenvarianz. Die zu schätzende Funktion ist

Bezeichne der Einfachheit halber die entsprechende Wahrscheinlichkeitsverteilung der statistischen Modells. Dann ist nach dieser Rechnung .

Der Schätzer ist also nicht Erwartungstreu. Insbesondere gilt für die Verzerrung

Der Schätzer ist aber asymptotisch Erwartungstreu, denn es ist

.

Allgemeinere Formulierungen Es existieren noch allgemeinere Formulierungen als die oben angegebene. Dabei werden die Voraussetzungen, dass es sich um eine Wiederholung des immer selben Experiments handelt (unendliches Produktmodell) fallen gelassen.

Formal wird dann ein Wahrscheinlichkeitsraum für definiert sowie eine Folge von Zufallsvariablen auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum.

Eine Folge von Punktschätzern heißt dann asymptotisch erwartungstreu für die Funktion , wenn

für alle .

Weblinks

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Mathematische Statistik