Hyperelastizität (von griechisch ὑπέρ hyper „über“ und ελαστικός elastikos „anpassungsfähig“) oder Green’sche Elastizität (nach George Green) ist ein Materialmodell der Elastizität. Elastizität ist die Eigenschaft eines Körpers, unter Krafteinwirkung seine Form zu verändern und bei Wegfall der einwirkenden Kraft in die Ursprungsform zurückzukehren (Beispiel: Sprungfeder). Als Ursache der Elastizität kommen Verzerrungen des Atomgitters (bei Metallen), das Dehnen von Molekülketten (Gummi und Kunststoffe) oder die Änderung des mittleren Atomabstandes (Flüssigkeiten und Gase) in Frage.
Für viele Materialien beschreibt die lineare Elastizität das beobachtete Materialverhalten nicht genau. Das bekannteste Beispiel mit nichtlinear elastischem Verhalten ist Gummi, das großen Verformungen standhält und dessen Reaktionen in guter Näherung mit Hyperelastizität nachgebildet werden können. Auch biologische Gewebe werden mit Hyperelastizität modelliert.Z. B. in Holzapfel (2000). Alle barotropen reibungsfreien Flüssigkeiten und Gase sind gleichsam Cauchy-elastisch und hyperelastisch, worauf in der Cauchy-Elastizität eingegangen wird. Der vorliegende Artikel befasst sich mit Feststoffmodellen. Hier ist die Hyperelastizität derjenige Spezialfall der Cauchy-Elastizität, in dem das Materialverhalten konservativ ist.
Ronald Rivlin und Melvin Mooney entwickelten die ersten Feststoffmodelle der Hyperelastizität, das Neo-Hooke- bzw. das Mooney-Rivlin-Modell. Andere oft benutzte Materialmodelle sind das Ogden- und Arruda-Boyce-Modell.
Beschreibung Makroskopisches Verhalten mini|Kraft-Weg-Diagramm im einachsigen Zug-Versuch bei nichtlinearer Elastizität Makroskopisch lassen sich folgende Eigenschaften an einem hyperelastischen Körper beobachten: Bei gegebener Verformung haben die Reaktionskräfte unabhängig von der Vorgeschichte immer denselben Wert. Ist der Ausgangszustand unbelastet, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden. Das Materialverhalten ist geschwindigkeitsunabhängig. Die Geschwindigkeit, mit der eine Verformung stattfindet, hat keinen Einfluss auf den Widerstand, den der Körper der Verformung entgegensetzt. Im einachsigen Zugversuch erfolgen Be- und Entlastung stets entlang des gleichen Weges so wie im nebenstehenden Bild. Die aufgewendete Verformungsarbeit wird vollständig als Verzerrungsenergie im Körper gespeichert. Das Material ist somit konservativ.
Die ersten vier Eigenschaften charakterisieren die Cauchy-Elastizität. Wenn das Material zusätzlich noch die letzte Eigenschaft besitzt, dann ist das Material hyperelastisch.
Zeitunabhängigkeit In der Hyperelastizität sind die Reaktionskräfte bei der Verformung eines Körpers ausschließlich von der aktuellen Verformung bestimmt. Ist der Ausgangszustand kräftefrei, so wird dieser nach jedweder Verformung wieder eingenommen, wenn die Belastungen entfernt werden. Verschiedene Verformungspfade, die am Ende dieselben Verformungen zur Folge haben, resultieren am Ende in denselben Reaktionskräften. Auch die Deformationsgeschwindigkeiten haben auf Materialgleichungsebene keinen Einfluss auf die Reaktionen. Die Vorgeschichte des Materials hat in dieser Idealisierung keinen Einfluss auf das aktuelle Materialverhalten. Hyperelastizität ist eine zeitunabhängige Materialeigenschaft.
Konservativität Zusätzlich zur Cauchy-Elastizität ist in der Hyperelastizität die Formänderungsarbeit wegunabhängig, was sich darin ausdrückt, dass die Formänderungsarbeit nur vom Start- und Endpunkt des Verformungsweges, nicht aber von dessen Verlauf abhängt. Im Spezialfall der Übereinstimmung von Start- und Endpunkt ergibt sich: Entlang eines geschlossenen Verformungsweges wird keine Arbeit verrichtet oder Energie verbraucht. Aufgewandte Arbeiten werden vom Körper bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt vollständig zurückgegeben. Die Konservativität folgt hier auch daraus, dass die Verformungsleistung exakt die Rate der Formänderungsenergie ist, aufgewandte Arbeiten also vollständig (dissipationslos) in Formänderungsenergie umgesetzt werden. Verformungen sind hier reversibel.
Dissipative Vorgänge wie plastisches Fließen oder Kriechen sind damit ausgeschlossen, was bei realen Materialien innerhalb ihrer Elastizitätsgrenze der Fall ist. Reale Flüssigkeiten und Gase und manche Feststoffe (wie Eisen oder Glas) sind bei schnellen, geringfügigen Bewegungen (z. B. bei Schallwellen) in guter Näherung elastisch. Bei Feststoffen wird die Elastizitätsgrenze bei hinreichend kleinen und langsam vonstatten gehenden Verformungen eingehalten, die in vielen Anwendungen, insbesondere im technischen Bereich, vorliegen.
Lineare Hyperelastizität Bei hinreichend kleinen Verformungen ist die Kraft-Weg-Beziehung bei Feststoffen linear und kann die Elastizität mit Moduln beschrieben werden. Weil die aufzuwendende Kraft und der zurückgelegte Weg bei einer Deformation maßgeblich von den Dimensionen des Körpers abhängen, wird die Kraft auf ihre Wirkfläche und der Weg auf eine geeignete Abmessung des Körpers bezogen. Die bezogene Kraft ist die Spannung und der bezogene Weg die Dehnung. Die Moduln quantifizieren das Verhältnis zwischen den Spannungen und den Dehnungen und sind eine Materialeigenschaft. Der Elastizitätsmodul gilt bei einachsigem Zug, der Schubmodul bei Scherung und der Kompressionsmodul bei allseitigem Zug/Druck. Bei einachsigem Zug tritt nicht nur in Zugrichtung eine Verformung auf, sondern auch quer dazu, was die dimensionslose Querdehnzahl quantifiziert. Die vollständige Beschreibung der isotropen linearen Hyperelastizität benötigt nur zwei der genannten Größen, kubische Anisotropie drei (ein Elastizitätsmodul, ein Schubmodul und eine Querdehnzahl), transversale Isotropie bereits fünf (zwei Elastizitätsmoduln, zwei Querdehnzahlen und einen Schubmodul) und die Orthotropie neun (drei Elastizitätsmoduln, drei Querdehnzahlen und drei Schubmoduln). Maximal werden jedoch 21 Parameter benötigt, um einen realen linear hyperelastischen Stoff zu beschreiben.
Definition Zunächst wird das makroskopische Verhalten eines homogenen Zugstabes aus hyperelastischem Material zur Erläuterung herangezogen. Durch Übergang vom makroskopischen Körper zu einem Punkt im Kontinuum wird die Definition der Hyperelastizität nachgeholt.
Verhalten eines hyperelastischen Körpers mini|80px|Ein Stab(schwarz) wird von einer Kraft um den Betrag gedehnt(rot)
Wird ein homogener Stab aus hyperelastischem Material wie im Bild axial um einen Betrag gedehnt, dann wird dazu eine Kraft benötigt, die sich aus der Formänderungsenergie durch die Ableitung
berechnet. Im linearen Fall ist mit der Federkonstante D beispielsweise
Dreidimensionales Kontinuum Die Übersetzung des Verhaltens des hyperelastischen Zugstabes in ein dreidimensionales Kontinuum erfolgt, indem
die Kraft F durch einen Spannungstensor σ, die Verschiebung u durch einen Verzerrungstensor ε und die Formänderungsenergie W durch die spezifische Formänderungsenergie w
ausgetauscht wird. Dann berechnen sich die Spannungen σ aus der AbleitungDie Fréchet-Ableitung einer Funktion nach ist der beschränkte lineare Operator der – sofern er existiert – in alle Richtungen dem Gâteaux-Differential entspricht, also
gilt. Darin ist skalar-, vektor- oder tensorwertig aber und gleichartig. Dann wird auch
geschrieben. von w nach ε gemäß
Hier ist ρ die Dichte des Materials. Damit dieses Materialmodell das Prinzip der materiellen Objektivität erfüllt, muss die in der Cauchy-Elastizität beschriebene Modellierungsrichtlinie eingehalten werden, die besagt, dass als Spannungstensor der zweite Piola-Kirchhoff-Spannungstensor zu benutzen ist, der nur vom rechten Strecktensor U abhängen darf. Statt des rechten Strecktensors wird häufiger der Green-Lagrangesche Verzerrungstensor E = ½ (U · U – 1) mit dem Einheitstensor 1 oder der rechte-Cauchy-Green Tensor C = U · U benutzt:
Die Dichte ρ0 des Körpers ist in der hier eingesetzten lagrangeschen Darstellungsweise ein zeitlich konstanter Materialparameter.
Häufig wird statt der spezifischen Formänderungsenergie die auf das Volumen bezogene Formänderungsenergie benutzt. Weil ρ0 ein konstanter Faktor ist, können die Formeln, die sich aus der auf die Masse oder das Volumen bezogenen Formänderungsenergie ergeben, jederzeit ineinander umgerechnet werden. Die Darstellung hier folgt HauptHaupt (2000), S. 326ff.
In der Eulerschen Darstellungsweise ergibt sich daraus für den Cauchy’schen Spannungstensor:
Darin ist F der Deformationsgradient und
die Dichte im deformierten Körper, die von der Determinante det des Deformationsgradienten bemessen wird.
Bei isotropem Material kann gemäß
auch der linke-Cauchy-Green Tensor b = F · FT benutzt werden, der auch ein Strecktensor ist, siehe Hyperelastizität#Isotrope Hyperelastizität in räumlicher Darstellung unten.
Eigenschaften hyperelastischer Materialien Dieser Abschnitt geht näher darauf ein, dass in der Hyperelastizität die Formänderungsarbeit nur vom Start- und Endpunkt des Verformungsweges, nicht aber von dessen Verlauf abhängt, entlang eines geschlossenen Verformungsweges keine Arbeit verrichtet oder Energie verbraucht wird, aufgewandte Arbeiten also vom Körper bis zur Rückkehr zum Ausgangspunkt vollständig zurückgegeben werden, die Verformungsleistung exakt die Rate der Formänderungsenergie ist, aufgewandte Arbeiten also vollständig (dissipationslos) als Formänderungsenergie gespeichert werden und Verformungen reversibel sind.
Verformungsarbeit Im oben angegebenen Zugstab leistet die Kraft entlang eines Weges von bis die Arbeit
d. h., die verrichtete Arbeit ist nur vom Anfangs- und Endpunkt abhängig. Insbesondere verschwindet bei die verrichtete Arbeit:
Analog ist im Kontinuum die Spannungsarbeit das Kurvenintegral über einer mit der Zeit t parametrisierten Kurve
was die Wegunabhängigkeit und Konservativität (im Sonderfall ) nachweist. Das Rechenzeichen „:“ bedeutet das Frobenius-Skalarprodukt und liefert hier die Summe der Arbeitsinkremente der Spannungskomponenten an den Komponenten des Deformationsgradienten.
Verformungsleistung Die von der Kraft erbrachte Verformungsleistung im Stab lautet:
und ist die pro Zeitspanne erbrachte Formänderungsarbeit. Die Leistung der Kraft wird also vollständig und dissipationslos in Formänderungsenergie umgesetzt. Im Kontinuum gilt in gleicher Weise
d. h., die spezifische Spannungsleistung ist bei Hyperelastizität die materielle Zeitableitung der spezifischen Formänderungsenergie.
Die Umkehrung gilt auch: Gibt es eine skalare Funktion , so dass die spezifische Spannungsleistung die materielle Zeitableitung dieser Funktion ist, dann ist das Material hyperelastisch.
In der eulerschen Formulierung entsteht
mit dem räumlichen Verzerrungsgeschwindigkeitstensor
der der symmetrische Anteil des Geschwindigkeitsgradienten ist.
Sätze über Hyperelastizität Die folgenden Aussagen sind äquivalent:
Das Material ist hyperelastisch. Die spezifische Spannungsleistung ist die materielle Zeitableitung der spezifischen Formänderungsenergie Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen Weges im Dehnungsraum ist nur vom Anfangs- und Endpunkt des Weges nicht aber von seinem Verlauf abhängig Die Arbeit der Spannungen entlang eines beliebigen geschlossenen Weges im Dehnungsraum verschwindet Die spezifische Spannungsarbeit an beliebigen differentiellen Dehnungsinkrementen ist gleich dem totalen Differential der spezifischen Formänderungsenergie
Bei der linearen Hyperelastizität sind die Spannungen als erste Ableitung der Formänderungsenergie linear in den Dehnungen und der Elastizitätstensor ist als zweite Ableitung konstant. Weil bei zwei Ableitungen hintereinander die Reihenfolge der Ableitungen vertauschbar ist, ist der Elastizitätstensor symmetrisch und kann ein linear-hyperelastischer Festkörper mit maximal 21 Parametern beschrieben werden.
Jedes barotrope elastische Fluid ist auch hyperelastisch.
Thermodynamische Konsistenz