Im mathematischen Gebiet der Knotentheorie sind Quanteninvarianten Invarianten von Knoten, Verschlingungen und 3-Mannigfaltigkeiten, die mittels der Darstellungstheorie von Quantengruppen oder allgemeiner aus Lösungen der Yang-Baxter-Gleichung definiert werden.
Konstruktion via R-Matrizen Gegeben seien eine R-Matrix und ein Isomorphismus , sowie eine Markow-Spur .
Mittels der R-Matrix definiert man Darstellungen der Zopfgruppen durch
. Mittels des Satzes von Alexander kann man jede Verschlingung als Abschluss eines Zopfes darstellen. Mittels der Markow-Spur erhält man aus dem so definierten Endomorphismus eine Invariante und mit dem Satz von Markow kann man zeigen, dass diese Invariante wohldefiniert ist.
Beispiele von Quanteninvarianten
Kontsevichs universelle Knoteninvariante Kashaev-Invariante Witten–Reshetikhin–Turaev-Invariante (siehe auch: Chern-Simons-Funktional) Rozansky–Witten-Invariante LMO-Invariante Turaev–Viro-Invariante Dijkgraaf–Witten-Invariante Reshetikhin–Turaev-Invariante Casson-Walker-Invariante HOMFLY-Polynom Vassiliev-Invarianten (Invarianten endlichen Typs)
Weblinks Garoufalidis: Quantum Knot Invariants
Literatur N. Reshetikhin, V. G. Turaev: Invariants of 3-manifolds via link polynomials and quantum groups. In: Invent. Math. 103, no. 3, 1991, S. 547–597. Robion Kirby, Paul Melvin: The 3-manifold invariants of Witten and Reshetikhin-Turaev for sl(2,C). In: Invent. Math. 105, no. 3, 1991, S. 473–545. Tomotada Ohtsuki: Quantum invariants. A study of knots, 3-manifolds, and their sets. (= Series on Knots and Everything. 29). World Scientific Publishing, River Edge, NJ 2002, ISBN 981-02-4675-7. Vladimir G. Turaev: Quantum invariants of knots and 3-manifolds. (= de Gruyter Studies in Mathematics. 18). 2., überarb. Auflage. Walter de Gruyter & Co., Berlin 2010, ISBN 978-3-11-022183-1.
Kategorie:Knoteninvariante