Die Ungleichung von Frobenius ist ein Ergebnis der Linearen Algebra, einem der Teilgebiete der Mathematik. Sie ist nach Georg Frobenius benannt und behandelt die Beziehungen zwischen den Rängen dreier hintereinander ausgeführter linearer Abbildungen.
Formulierung der Ungleichung Die Ungleichung besagt folgendes: Gegeben seien vier Vektorräume über einem beliebigen Körper und dazu drei lineare Abbildungen , und . Dann gilt: .Der Übersichtlichkeit der Formeln wegen nimmt man anstelle der Darstellung der Komposition in der Form die kürzere multiplikative Darstellung in der Form und entsprechend in den anderen Fällen.
Beweisskizze Sei ein Komplementärraum von in , also .
Dann folgt
und weiter .
Damit bekommt man
also insgesamt die behauptete Ungleichung.
Anmerkung Da bei beliebigen Vektorräumen der Dimensionsbegriff und auch der Nachweis der Existenz eines Komplementärraums die Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms erfordert, ist im Falle, dass man diese Annahme nicht treffen möchte, von Vektorräumen endlicher Dimension auszugehen. Für solche ist die Ungleichung stets gültig.
Literatur
Einzelnachweise und Anmerkungen
Kategorie:Lineare Algebra Frobenius, Ungleichung von Kategorie:Ferdinand Georg Frobenius als Namensgeber