Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Analysis mit Vektor- und Tensorfeldern zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen.
Allgemeines Siehe auch Formelsammlung Tensoralgebra
Nomenklatur Es wird der dreidimensionale euklidische Vektorraum 𝕍={ℝ3,+,·} mit Skalarprodukt „·“ zu Grunde gelegt. Operatoren wie „“ werden nicht kursiv geschrieben. Buchstaben in der Mitte des Alphabets werden als Indizes benutzt: Es gilt die Einsteinsche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung. Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in wird über diesen Index von eins bis drei summiert: . Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in wird über diese summiert: . Ein Index, der nur einfach vorkommt wie in , ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes: . Vektoren: Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren in 𝕍. Vektoren werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet. Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie in ĉ mit einem Hut versehen. Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie in mit einem Pfeil versehen. Standardbasis ê1,2,3 Beliebige Basis mit dualer Basis Der Vektor wird durchgängig Ortsvektor genannt. Tensoren zweiter Stufe werden wie in T mit fetten Großbuchstaben notiert. Insbesondere Einheitstensor 1. Koordinaten: #Kartesische Koordinaten #Zylinderkoordinaten: #Kugelkoordinaten: Krummlinige Koordinaten Konstanten: Zeit t ∈ ℝ Variablen: skalar r,s ∈ ℝ oder vektorwertig Feldfunktionen abhängig von oder : Skalar oder vektorwertig Tensorwertig: S, T Skalar-, vektor- oder tensorwertig: φ Operatoren: Formelsammlung Tensoralgebra#Spur: Sp Formelsammlung Tensoralgebra#Transposition: T⊤ Formelsammlung Tensoralgebra#Inverse: T -1 Transponierte Inverse: T ⊤-1 Formelsammlung Tensoralgebra#Skalarprodukt von Tensoren :, von Vektoren · Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor × oder von Vektoren untereinander Formelsammlung Tensoralgebra#Dyadisches Produkt ⊗ Äußeres Tensorprodukt Vektorinvariante Differentialoperatoren: #Nabla-Operator: 𝜵 #Gradient: grad #Divergenz: div #Rotation: rot #Laplace-Operator: Δ Ein Index hinter einem Komma bezeichnet die Ableitung nach einer Koordinate: Zeitableitung mit Überpunkt: Landau-Symbole: f = 𝓞(x): f wächst langsamer als x. Kontinuumsmechanik: Verschiebung Geschwindigkeit Deformationsgradient Räumlicher Geschwindigkeitsgradient der Differentialoperator D/Dt und der Überpunkt steht für die substantielle Zeitableitung
Kronecker-Delta
Permutationssymbol
Kreuzprodukt:
Formelsammlung Tensoralgebra#Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor:
Basisvektoren Kartesische Koordinaten
mit Basisvektoren
die Standardbasis oder allgemeiner eine beliebige Orthonormalbasis ist.
Zylinderkoordinaten
Winkelgeschwindigkeit#Zylinderkoordinaten:
Kugelkoordinaten
Winkelgeschwindigkeit#Kugelkoordinaten:
Krummlinige Koordinaten
Ableitung von Skalar-, Vektor- oder Tensorfunktionen Gâteaux-Differential
mit , skalar-, vektor- oder tensorwertig aber und gleichartig.
Produktregel:
Kettenregel:
Fréchet-Ableitung
Existiert ein beschränkter linearer Operator , sodass
gilt, so wird Fréchet-Ableitung von nach genannt. Man schreibt dann auch
.
Ableitung der Inversen eines Tensors
siehe Formelsammlung Tensoralgebra#Tensoren vierter Stufe.
Denn das #Gâteaux-Differential der Inversen lautet:
Ableitungen nach dem Ort Nabla-Operator
#Kartesische Koordinaten :
#Zylinderkoordinaten:
#Kugelkoordinaten:
#Krummlinige Koordinaten : mit .
Gradient
Definition des Gradienten/Allgemeines Definierende Eigenschaft bei skalar-, vektor- oder tensorwertiger Funktion φ ist die lineare Approximation 𝓛 in einem Punkt:
wenn
Wenn 𝓛 existiert, ist es eindeutig. Bei einer skalaren Funktion f ist grad(f) ein Vektor:
Bei Vektoren oder Tensoren φ gibt es Rechtsgradienten
und Linksgradienten
siehe Krummlinige Koordinaten#Allgemeine krummlinige Koordinatensysteme. Hier wird die Rechtsversion verwendet.
Berechnung für skalar-, vektor- oder allgemein tensorwertige Funktion φ:
Integrabilitätsbedingung: Jedes rotationsfreie Vektorfeld ist das Gradientenfeld eines Skalarpotentials:
.
Koordinatenfreie Darstellung als Volumenableitung: Volumen mit Oberfläche mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement
Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:
Nützliche Formeln für Gradienten
mit
Gradient in verschiedenen Koordinatensystemen #Kartesische Koordinaten:
#Zylinderkoordinaten:
#Kugelkoordinaten:
#Krummlinige Koordinaten:
Christoffelsymbole:
Vektorfelder:
Mit den kovarianten Ableitungen
Tensorfelder:
Für ein Tensorfeld zweiter Stufe:
Produktregel für Gradienten
In drei Dimensionen ist speziell
Beliebige Basis:
Divergenz
Definition der Divergenz/Allgemeines
Vektorfeld :
Klassische Definition für ein Tensorfeld T:
→
Koordinatenfreie Darstellung: Volumen mit Oberfläche mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement
Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:
Nützliche Formeln für Divergenzen
mit
Divergenz in verschiedenen Koordinatensystemen
#Kartesische Koordinaten:
#Zylinderkoordinaten:
ergibt sich hieraus durch Vertauschen von Tab durch Tba.
#Kugelkoordinaten:
ergibt sich hieraus durch Vertauschen von Tab durch Tba.
Produktregel für Divergenzen
Beliebige Basis:
Produkt mit Konstanten:
Rotation
Definition der Rotation/Allgemeines
Vektorfeld :
Klassische Definition für ein Tensorfeld T:
→
Allgemeine Identitäten:
Integrabilitätsbedingung: Jedes divergenzfreie Vektorfeld ist die Rotation eines Vektorfeldes:
.
Siehe auch #Satz über rotationsfreie Felder.
Koordinatenfreie Darstellung: Volumen mit Oberfläche mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement
Zusammenhang mit den anderen Differentialoperatoren:
Rotation in verschiedenen Koordinatensystemen
#Kartesische Koordinaten:
#Zylinderkoordinaten:
#Kugelkoordinaten:
Produktregel für Rotationen
Beliebige Basis:
Produkt mit Konstanten:
In divergenzfreien Feldern ist also:
Laplace-Operator
Definition des Laplace Operators/Allgemeines
Für Skalarfelder:
mit der metrische Tensor der Riemannschen Mannigfaltigkeit, ∇i die kovariante Ableitung
Zusammenhang mit anderen Differentialoperatoren:
„Vektorieller Laplace-Operator“ in 3D:
Für Tensorfelder
Nützliche Formeln für den Laplace-Operator
mit
Laplace-Operator in verschiedenen Koordinatensystemen
#Kartesische Koordinaten:
#Zylinderkoordinaten:
#Kugelkoordinaten:
Produktregel für den Laplace-Operator
Verknüpfungen Wegen der in der Literatur teilweise abweichenden Definitionen der Differentialoperatoren kann es in der Literatur zu abweichenden Formeln kommen. Wenn die Definitionen der Literatur hier eingesetzt werden, gehen die hiesigen Formeln in die der Literatur über.
Bei symmetrischem T = T⊤ gilt:
Wenn zusätzlich dann ist:
Grassmann-Entwicklung
Sätze über Gradient, Divergenz und Rotation Ein Vektorfeld, dessen Divergenz und Rotation verschwindet, ist harmonisch:
siehe #Vektorieller Laplace-Operator.
Helmholtz-Theorem
Jedes Vektorfeld lässt sich eindeutig in einen divergenzfreien und einen rotationsfreien Anteil zerlegen. Den Integrabilitätsbedingungen für Rotationen und Gradienten zufolge ist der erste Anteil ein Rotationsfeld und der zweite ein Gradientenfeld.
Satz über rotationsfreie Felder
oder
Gaußscher Integralsatz
Volumen mit Volumenform und Oberfläche mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement Ortsvektoren Skalar-, vektor- oder tensorwertige Funktion des Ortes :
Mit der #Produktregel für Gradienten, #Produktregel für Divergenzen und #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:
Klassischer Integralsatz von Stokes
Gegeben:
Fläche mit äußerem vektoriellem Oberflächenelement Berandungskurve der Fläche mit Linienelement Ortsvektoren
Vektorwertige Funktion :
Mit der #Produktregel für Rotationen können Formeln für die partielle Integration im Mehrdimensionalen abgeleitet werden, beispielsweise:
Reynoldscher Transportsatz
Gegeben:
Zeit Zeitabhängiges Volumen mit Volumenform mit Oberfläche des Volumes und äußerem vektoriellem Oberflächenelement Ortsvektoren Geschwindigkeitsfeld: Eine skalare oder vektorwertige Dichtefunktion pro Volumeneinheit , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird. Die Integrale Größe für das Volumen:
Skalare Funktion :
Vektorwertige Funktion :
Transportsatz für Flächenintegrale Gegeben: Zeit Ortsvektoren Geschwindigkeitsfeld: Zeitabhängige Fläche , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und auf der mit räumlichem, vektoriellem Oberflächenelement im Volumen v integriert wird Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird. Die Integrale Größe auf der Fläche:
Skalare Funktion :
Vektorwertige Funktion :
Transportsatz für Kurvenintegrale Gegeben: Zeit Ortsvektoren Geschwindigkeitsfeld: Zeitabhängige Kurve , die mit dem Geschwindigkeitsfeld transportiert wird und entlang derer mit räumlichem, vektoriellem Linienelement im Volumen v integriert wird Eine skalare oder vektorwertige Feldgröße , die mit den sich bewegenden Partikeln transportiert wird. Die Integrale Größe entlang des Weges:
Skalare Funktion :
Vektorwertige Funktion :
Kontinuumsmechanik
Kleine Deformationen Ingenieursdehnungen:
Kompatibilitätsbedingungen:
Starrkörperbewegung Orthogonaler Tensor beschreibt die Drehung.
Vektorinvariante oder dualer axialer Vektor des schiefsymmetrischen Tensors ist die Winkelgeschwindigkeit:
Starrkörperbewegung mit :
Ableitungen der Invarianten
mit der transponiert inversen T⊤-1 und dem Kofaktor cof(T) des Tensors T.
Funktion der Invarianten:
Ableitung der Frobenius-Norm:
Eigenwerte (aus der impliziten Ableitung des charakteristischen Polynoms):
→
Eigenwerte symmetrischer Tensoren:
Eigenwerte von , wo dual zu den Eigenvektoren sind :
(keine Summe)
Die Eigenwerte von sind mit den Eigenvektoren . Hier ist:
(keine Summe)
mit und der Überstrich markiert den konjugiert komplexen Wert.
Konvektive Koordinaten
Konvektive Koordinaten
Kovariante Basisvektoren ,
Kontravariante Basisvektoren ,
Deformationsgradient
Räumlicher Geschwindigkeitsgradient
Kovarianter Tensor
Kontravarianter Tensor
Geschwindigkeitsgradient
Räumlicher Geschwindigkeitsgradient:
Divergenz der Geschwindigkeit:
Winkelgeschwindigkeit oder Wirbelstärke ist der duale axiale Vektor
Objektive Zeitableitungen
Bezeichnungen wie in #Konvektive Koordinaten.
Räumlicher Geschwindigkeitsgradient
Räumliche Verzerrungsgeschwindigkeit
Wirbel- oder Spintensor
Objektive Zeitableitungen von Vektoren Gegeben::
Objektive Zeitableitungen von Tensoren Gegeben:
Materielle Zeitableitung
#Kartesische Koordinaten:
#Zylinderkoordinaten:
#Kugelkoordinaten:
Fußnoten
Literatur
Kategorie:Kontinuumsmechanik Kategorie:Vektoranalysis Tensoranalysis