Diese Formelsammlung fasst Formeln und Definitionen der Tensoralgebra für Tensoren zweiter Stufe in der Kontinuumsmechanik zusammen. Es wird der reelle dreidimensionale Raum zugrunde gelegt.

Allgemeines Um das Transfervolumen trotz erheblicher Erweiterung von vormals über 15 MB auf unter 1 MB zu senken und damit die Übertragung zu beschleunigen und gleichzeitig Energie zu sparen, werden Formeln, wenn möglich, in Textform geschrieben. Der Schrifttypensatz hat keinen Einfluss auf den dargestellten Inhalt. Beispielsweise bedeuten (Datei:Vec u.svg, A) und dasselbe. Das ermöglicht außerdem die Suche nach Zeichenfolgen wie „sin“, „∠“ oder „AD“.

Notation Buchstaben die als Indizes benutzt werden: i, j, k, l, m, n ∈ {1, 2, 3} p, q, r, s ∈ {1, 2, …, 9} u, v ∈ {1, 2, …, 6} Nicht tief oder hoch gestellte Buchstaben stehen für reelle Zahlen oder komplexe Zahlen. Vektoren: Alle hier verwendeten Vektoren sind geometrische Vektoren im dreidimensionalen euklidischen Vektorraum 𝕍. Vektoren werden mit Kleinbuchstaben wie Datei:Vec a.svg, â bezeichnet.Ausnahme: #Dualer axialer Vektor A× Einheitsvektoren mit Länge eins werden wie ê mit einem Hut versehen. Die Standardbasis von 𝕍 ist ê1,2,3. Vektoren mit unbestimmter Länge werden wie Datei:Vec a.svg mit einem Pfeil versehen. Der Name ohne Pfeil gibt den Betrag an: Datei:Vec a.svg ＝ a â. Dreiergruppen von Vektoren wie Datei:Vec h.svg1, Datei:Vec h.svg2, Datei:Vec h.svg3 oder Datei:Vec g.svg1, Datei:Vec g.svg2, Datei:Vec g.svg3 bezeichnen Basen von 𝕍. Gleichnamige Basisvektoren mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist Datei:Vec g.svg1, Datei:Vec g.svg2, Datei:Vec g.svg3 dual zu Datei:Vec g.svg1, Datei:Vec g.svg2, Datei:Vec g.svg3. Als #Orthonormalbasis­vektoren werden â, ĉ, ê, ĝ, ĥ und û1,2,3 benutzt. Tensoren zweiter Stufe sind Element des Vektorraums 𝓛 und bilden Vektoren aus 𝕍 nach 𝕍 ab. Sie werden wie A mit fetten Großbuchstaben notiert. Ausnahme: #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix [­Datei:Vec v.svg]×. Tensoren vierter Stufe werden doppelt gestrichen geschrieben wie beispielsweise 𝔸 und bilden Tensoren aus 𝓛 nach 𝓛 ab. Analoges zu den Vektoren oben gilt bei Tensoren zweiter Stufe: Neunergruppen von Tensoren wie in H1, …, H9 oder G1, …, G9 bezeichnen eine Basis von 𝓛. Gleichnamige „Basistensoren“ mit unterem und oberem Index sind dual zueinander, z. B. ist G1, …, G9 dual zu G1, …, G9. Es gilt die Einstein’sche Summenkonvention ohne Beachtung der Indexstellung. Kommt in einer Formel in einem Produkt ein Index doppelt vor wie in c ＝ ai bi wird über diesen Index summiert: c ＝ ai bi ＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg ai bi. Kommen mehrere Indizes doppelt vor wie in c ＝ Apq Bpq wird über diese summiert: c ＝ Apq Bpq ＝ Apq Bpq. Ein Index, der nur einfach vorkommt wie u in au ＝ Auv bv, ist ein freier Index. Die Formel gilt dann für alle Werte der freien Indizes: au ＝ Auv bv bedeutet au ＝ Auv bv für alle u ∈ {1, …, 6}. Wird die Summation mit Datei:Sum over i from 1 to 3.svg explizit gefordert, ist die Summenkonvention außer Kraft gesetzt.

Glossar Reservierte und besondere Symbole Formel­zeichen Abschnitt in der Formel­sammlung Wikipedia-Artikel 1 #Einheitstensor zweiter Stufe Einheitstensor 𝟙, 𝕀 #Einheitstensor vierter Stufe Einheitstensor Q, R #Orthogonale Tensoren Orthogonaler Tensor λ #Eigenwerte, im Abschnitt #Tensoren vierter Stufe erste Lamé-Konstante Eigenwertproblem, Lamé-Konstante δij #Kronecker-Delta Kronecker-Delta ϵijk #Permutationssymbol Permutationssymbol 𝞊 #Fundamentaltensor 3. Stufe Epsilon-Tensor i Imaginäre Einheit: i2 ＝ −1 Datei:Vec 0.svg, O, 𝕆 Nullvektor, Nulltensor zweiter und vierter Stufe

Zeichen für Operatoren Formel­zeichen Abschnitt in der Formel­sammlung Wikipedia-Artikel ∠(·, ·) #Skalarprodukt von Vektoren, #Kreuzprodukt von Vektoren Winkel zwischen zwei Vektoren (·) · (·) #Skalarprodukt von Vektoren, #Vektortransformation, #Tensorprodukt Skalarprodukt (·) × (·) #Kreuzprodukt von Vektoren, #Kreuzprodukt eines Vektors mit einem Tensor, #Kreuzprodukt von Tensoren Kreuzprodukt (·) : (·) #Skalarprodukt von Tensoren Frobenius-Skalarprodukt (·) ⊗ (·) #Dyadisches Produkt, #Dyade Dyadisches Produkt (·) ·× (·) #Skalarkreuzprodukt von Tensoren (·) ×× (·) #Doppeltes Kreuzprodukt von Tensoren (·) # (·) #Äußeres Tensorprodukt Äußeres Tensorprodukt ∥(·)∥ #Betrag eines Tensors zweiter Stufe Frobeniusnorm |x|, |Datei:Vec v.svg|, |A| Betrag der Zahl x oder des Vektors Datei:Vec v.svg, #Determinante des Tensors ABetragsfunktion, Vektor#Länge/Betrag eines Vektors, Determinante (·) ∥ (·) Kollinearität (·) ∦ (·) Lineare Unabhängigkeit (·) ⊥ (·) Orthogonalität sin, cos, tan Winkelfunktionen sgn(x) Vorzeichen der reellen Zahl x , , Komplexe Konjugation

Operatoren für komplexe Argumente werden nicht speziell definiert, komplexe Konjugationen immer angezeigt, z. B. |Datei:Vec v.svg|2 ＝

bei komplexen Vektoren. Dies ist insbesondere bei der #Vektortransformation zu beachten. Komplexe Zahlen werden nur in den Abschnitten #Eigensystem und #Spektralzerlegung benutzt.

Tensorfunktionen Formel­zeichen Abschnitt in der Formel­sammlung Wikipedia-Artikel Sp, I1 #Spur Spur (Mathematik), Hauptinvariante I2 #Zweite Hauptinvariante Hauptinvariante det, I3, |A| #Determinante Determinante, Hauptinvariante [­Datei:Vec v.svg]× #Axialer Tensor oder Kreuzproduktmatrix Kreuzprodukt [A], [𝔸] #Voigtsche Notation symmetrischer Tensoren zweiter Stufe, #Voigtsche Notation von Tensoren vierter Stufe und nur in diesen Abschnitten Voigtsche Notation A× #Dualer axialer Vektor Kreuzprodukt Datei:Vec i.svg(A) #Vektorinvariante Vektorinvariante adj(A) #Adjunkte Adjunkte cof(A) #Kofaktor Minor (Mathematik)#Kofaktormatrix dev(A) #Deviator Deviator, Spannungsdeviator skw(A) #Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix sph(A) #Kugelanteil Kugeltensor sym(A) #Symmetrischer Anteil Symmetrische Matrix

Indizes Formel­zeichen Abschnitt in der Formel­sammlung Wikipedia-Artikel Aij, Aij, Aij#Tensorkomponenten von A, siehe auch #Basis und duale Basis A⊤ #Transposition Transponierte Matrix 𝔸 #Transpositionen von Tensoren vierter Stufe A−1 #Inverse Inverse Matrix A⊤−1, A−⊤ #Transposition der #Inversen AS #Symmetrischer Anteil Symmetrische MatrixAA #Schiefsymmetrischer Anteil Schiefsymmetrische Matrix AD #Deviator Deviator, Spannungsdeviator AK #Kugelanteil Kugeltensor A× #Dualer axialer Vektor Kreuzprodukt x−1 Kehrwert (·)½, √(·) Wurzel (Mathematik)

Mengen Formel­zeichen Elemente ℝ Reelle Zahlen 𝕍 Vektoren 𝓛 ＝ Lin(𝕍,𝕍) Tensoren zweiter Stufe Lin(𝓛,𝓛) #Tensoren vierter Stufe 𝓢 ＝ Sym(𝕍,𝕍) #Symmetrische Tensoren zweiter Stufe 𝔏(𝓢,𝓢) Spezielle lineare Abbildungen von symmetrischen Tensoren auf symmetrische Tensoren, siehe #Voigtsche Notation von Tensoren vierter Stufe O(3) Orthogonale Gruppe, #Orthogonale Tensoren (mit det(Q) ＝ ±1) SO(3) Drehgruppe, eigentlich #Orthogonale Tensoren (mit det(Q) ＝ +1)

Kronecker-Delta

Definition:

| rowspan="2"| δij ＝ | rowspan="3" |Datei:Caseopen2.svg |1 falls i ＝ j |- |0 sonst

Für Summen gilt dann z. B.

vi δij ＝ vj Aij δij ＝ Aii

Permutationssymbol

| style="width:6ex;" rowspan="3" | ϵijk ＝ | rowspan="3" |Datei:Caseopen3.svg | 1||falls (i, j, k) ∈ { (1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2) } |- |−1||falls (i, j, k) ∈ { (1, 3, 2), (2, 1, 3), (3, 2, 1) } |- | 0||sonst, d. h. bei doppeltem Index

Verhalten bei vertauschten Indizes: ϵijk ＝ ϵjki ＝ ϵkij ϵijk ＝ −ϵikj ＝ −ϵjik ＝ −ϵkji

Produkte und deren Summen: {| style="border-collapse:collapse;text-align: center;" | rowspan="3"| ϵijk ϵlmn ＝ |style="border-left: 1px solid #000000;"| δil |  δjl  |style="border-right: 1px solid #000000;"| δkl |- |style="border-left: 1px solid #000000;"|  δim  | δjm |style="border-right: 1px solid #000000;"|  δkm  |- |style="border-left: 1px solid #000000;"| δin | δjn |style="border-right: 1px solid #000000;"| δkn |} ϵijk ϵklm ＝ δil δjm − δim δjl ϵijk ϵjkl ＝ 2 δil ϵijk ϵijk ＝ 6

#Kreuzprodukt von Vektoren:

ϵijk êk ＝ êi × êj ϵijk êj × êk ＝ 2 êi ϵijk êi × (êj × êk) ＝ Datei:Vec 0.svg

#Spatprodukt: ϵijk ＝ êi · (êj × êk)

Spaltenvektoren und Matrizen

Die hier verwendeten Vektoren sind Spaltenvektoren

| rowspan="3"| Datei:Vec a.svg ＝ ai êi ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg | a1 | rowspan="3"| Datei:Rightpmatrix3.svg |- | a2 |- | a3

Drei Vektoren Datei:Vec a.svg, Datei:Vec b.svg und Datei:Vec c.svg können spaltenweise in einer 3×3-Matrix M arrangiert werden:

| rowspan="3"| M ＝ Mij êi ⊗ êj ＝ (Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec c.svg) ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg | a1 b1 c1 | rowspan="3"| Datei:Rightpmatrix3.svg |- | a2 b2 c2 |- | a3 b3 c3

Die #Determinante der Matrix

|M| ＝ |Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec c.svg|

ist ungleich null, wenn die Spaltenvektoren linear unabhängig sind und größer null, wenn die Spaltenvektoren zusätzlich ein Rechtssystem bilden.

Also gewährleistet |Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec c.svg| > 0, dass die Vektoren Datei:Vec a.svg, Datei:Vec b.svg und Datei:Vec c.svg eine rechtshändige Basis bilden.

Die Spaltenvektoren bilden eine #Orthonormalbasis, wenn

M⊤ M ＝ E

worin M⊤ die transponierte Matrix und E die Einheitsmatrix ist. Bei einer rechtshändigen Orthonormalbasis ist |M| ＝ +1.

Vektoralgebra Skalarprodukt von Vektoren

Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ ℝ Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg ＝ |Datei:Vec a.svg| |Datei:Vec b.svg| cos(∠(Datei:Vec a.svg, Datei:Vec b.svg))

Betragsquadrat eines Vektors (einzige irreduzible Invariante): │Datei:Vec a.svg│2 ＝ Datei:Vec a.svg · Datei:Vec a.svg

Bezüglich einer #Orthonormalbasis ĉ1,2,3:

(ai ĉi) · (bj ĉj) ＝ aj bj ＝ a1 b1 + a2 b2 + a3 b3

Kreuzprodukt von Vektoren

Abbildung 𝕍 × 𝕍 ↦ 𝕍 Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg ＝ Datei:Vec c.svg ∈ 𝕍

Eigenschaften: Datei:Vec a.svg × Datei:Vec a.svg ＝ Datei:Vec 0.svg Datei:Vec b.svg × Datei:Vec a.svg ＝ −Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) ＝ Datei:Vec b.svg · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) ＝ 0 |Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg|2 ＝ |Datei:Vec a.svg|2 |Datei:Vec b.svg|2 sin(∠(Datei:Vec a.svg, Datei:Vec b.svg))2 ＝ |Datei:Vec a.svg|2 |Datei:Vec b.svg|2 − (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg)2 det(Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) ≥ 0

Graßmann-Identität: Datei:Vec a.svg × (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg) ＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec c.svg) Datei:Vec b.svg − (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec b.svg) Datei:Vec c.svg „BAC−CAB-Formel“ (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) × Datei:Vec c.svg ＝ (Datei:Vec a.svg · Datei:Vec c.svg) Datei:Vec b.svg − (Datei:Vec b.svg · Datei:Vec c.svg) Datei:Vec a.svg

Kreuzprodukt aus zwei Kreuzprodukten mit #Spatprodukten: {| | (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg) × (Datei:Vec c.svg × Datei:Vec d.svg) | ＝ [­Datei:Vec d.svg · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg)] Datei:Vec c.svg − [­Datei:Vec c.svg · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg)] Datei:Vec d.svg |- | || ＝ [­Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec c.svg × Datei:Vec d.svg)] Datei:Vec b.svg − [­Datei:Vec b.svg · (Datei:Vec c.svg × Datei:Vec d.svg)] Datei:Vec a.svg

Bezüglich der Standardbasis: {| style="border-collapse:collapse;text-align:center;" | (ai êi) × (bj êj) | colspan="7" style="text-align:left;"|  ＝ ϵijk ai bj êk |- | rowspan="3" | | rowspan="3" |  ＝  | style="border-left: 1px solid;" |  ê1  |  ê2  | style="border-right: 1px solid;"|  ê3  | rowspan="3" |  ＝ Datei:Leftpmatrix3.svg | a2 b3 − a3 b2 | rowspan="3" | Datei:Rightpmatrix3.svg |- | style="border-left: 1px solid;" | a1 | a2 | style="border-right: 1px solid" | a3 | a3 b1 − a1 b3 |- | style="border-left: 1px solid" | b1 | b2 | style="border-right: 1px solid;"| b3 | a1 b2 − a2 b1

Spatprodukt

Abbildung 𝕍 × 𝕍 × 𝕍 ↦ ℝ Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg) ＝ det(Datei:Vec a.svg Datei:Vec b.svg Datei:Vec c.svg) Datei:Vec a.svg · (Datei:Vec b.svg × Datei:Vec c.svg) ＝ Datei:Vec b.svg · (Datei:Vec c.svg × Datei:Vec a.svg) ＝ Datei:Vec c.svg · (Datei:Vec a.svg × Datei:Vec b.svg)