Die Verschiebungsmethode ist die Standardformulierung der Finite-Elemente-Methode (FEM), bei der die Verschiebungen der Körperpunkte die primären Unbekannten sind. In der Festkörpermechanik beinhalten die Verschiebungen die Wege, die die Körperpunkte mit der Zeit zurücklegen und damit die Translation, Rotation und möglicherweise Verformung eines Festkörpers. Die erste Anwendung der FEM war die lineare Behandlung von Festkörpern und Strukturen (bestehend aus Stäben, Balken oder Schalen) und davon ausgehend hat die FEM ihre Anstöße erhalten.
Eine der Verschiebungsmethode zugrunde liegende Gleichung ist das Prinzip von d’Alembert in der Lagrange’schen Fassung. Mit diesem Prinzip können sowohl lineare Probleme, wie die Frage nach Eigenschwingungen, als auch hoch nichtlineare Probleme, wie Crashtests, analysiert werden. Wegen ihrer Einsetzbarkeit in den meisten Problemstellungen werden in der Standardformulierung isoparametrische Elemente verwendet. Auch die Galerkin-Methode wird verwendet.
Die Verschiebungsmethode ist in allen gängigen Finite-Elemente-Programmen verfügbar, mit denen Probleme der Festkörpermechanik berechnet werden können, wobei sich die Programme in den verwendeten Dehnungsmaßen, implementierten Nichtlinearitäten, Materialmodellen, Zeitintegrationsverfahren und/oder numerischen Umsetzungen unterscheiden können.
Matrizengleichungen
Das Prinzip von d’Alembert in der Lagrange’schen Fassung ist eine zur Impulsbilanz äquivalente Aussage und lautet
Der erste Term ist die über das Volumen V des Körpers summierte virtuelle Arbeit der Impulsänderung an den virtuellen Verschiebungen Der Faktor ist die Dichte und die Beschleunigung des materiellen Punktes. Im zweiten Term wird die vom Spannungstensor am virtuellen Verzerrungstensor geleistete virtuelle Deformationsarbeit, die mit dem Frobenius-Skalarprodukt „:“ der Tensoren gebildet wird, über das Volumen V des Körpers summiert. Auf der rechten Seite steht die Arbeit der äußeren Kräfte (oberflächen- und volumenverteilt) an den virtuellen Verschiebungen. Die Menge enthält alle zulässigen virtuellen Verschiebungen, die verschwinden woimmer Verschiebungsrandbedingungen vorgegeben sind. Die Fläche ist derjenige Teil der Oberfläche des Körpers, auf der keine Verschiebungsrandbedingungen vorliegen.
Wenn die Gleichung oben tatsächlich für alle erlaubten virtuellen Verschiebungen erfüllt ist, dann sind die Verschiebungen sowie die daraus resultierenden Verzerrungen und Spannungen im Einklang mit der Impulsbilanz. Die vorausgesetzte Symmetrie des Spannungstensors bewirkt zusätzlich die Erfüllung der Drehimpulsbilanz.
Überführung des Prinzips in eine Matrizengleichung
mini|Halbkreis (blau) und sein FE-Modell (gelb). Der interessierende Körper wird vorbereitend in Teilkörper, die Finiten-Elemente, unterteilt, siehe Bild. Damit die Elemente den Körper lückenlos und überschneidungsfrei aufbauen, müssen benachbarte Elemente kompatibel sein. Auf den Begrenzungsflächen oder auch im Inneren der Elemente liegen Knoten genannte Punkte, denen globale Koordinaten zur geometrischen Beschreibung des Körpers und Verschiebungen als Knotenvariable zur Beschreibung der Bewegung zugeteilt werden.
Anhand eines Elementes wird die Überführung der Tensorgleichung des Prinzips in eine Matrizengleichung vollzogen: Die Elementverschiebungen werden mit einem rein zeitabhängigen Lösungsvektor der Länge m mit Knotenverschiebungen und einer rein ortsabhängigen 3×m Formfunktionsmatrix N dargestellt:
Damit lauten die Elementbeschleunigungen Die Formfunktionen sind die Ansatzfunktionen für die Lösung und durch die Beschränkung auf eine endliche Anzahl von ihnen ergibt sich der – in Abwesenheit einer analytischen Lösung unvermeidliche – Diskretisierungsfehler. In der Galerkin-Methode werden die virtuellen Verschiebungen genauso behandelt wie die Punktverschiebungen:
Der Spannungstensor wird mittels Voigt’scher Notation als Spaltenvektor geschrieben:
Das Superskript bezeichnet die Transposition. In gleicher Weise werden die virtuellen Verzerrungen in einen Vektor eingetragen:
Der Faktor zwei an der vierten bis sechsten Position stellt sicher, dass das Skalarprodukt mit dem Matrixprodukt übereinstimmt Außerdem entspricht die doppelte Schubverzerrung der Gleitung γ, so dass die Komponenten eine anschauliche Interpretation besitzen. Die differentiellen virtuellen Verzerrungen sind linear in den virtuellen Knotenverschiebungen:
mit der 6×m Verzerrungsverschiebungsmatrix B.
Diese Definitionen, die im Abschnitt #Elementmatrizen an den Integrationspunkten unten ausgeführt werden, werden in das Prinzip eingetragen:
Die Menge enthält alle zulässigen virtuellen Verschiebungsvektoren der Dimension m×1. Die Knotenvariablen können aus den Integralen herausgezogen werden, weil die Ortsabhängigkeit allein bei den Formfunktionen liegt. So entsteht die Prinzipgleichung:
Die m×m Matrix M ist die konstante Massenmatrix, der m×1 Vektor enthält Knotenreaktionen aufgrund von Elementspannungen und ist der gleich große Knotenkraftvektor, der die von außen angreifenden Kräfte repräsentiert.
Diese Gleichung wurde für ein Finites-Element aufgestellt, was statthaft ist, weil das Prinzip für jeden Körper und jeden seiner Teilkörper gilt. Beim Übergang vom Finiten-Element zum ganzen Körper werden die Elementmatrizen in einem Assemblierungsschritt in globalen Matrizen aufsummiert. Das globale System unterliegt auch der Prinzipgleichung (PvdA), nur die Matrizen und Vektoren sind größer.
Partitionierung des globalen Systems
Die Menge enthält alle zulässigen virtuellen Verschiebungsvektoren der Dimension m×1. Zulässig ist ein virtueller Verschiebungsvektor, wenn seine Komponenten verschwinden, wo im Lösungsvektor Randbedingungen vorgegeben sind. Die Komponenten des Lösungsvektors, die an Verschiebungsrandbedingungen gebunden sind, werden an das Ende des Lösungsvektors verlegt:
Der Vektor enthält die gesuchten unbekannten Knotenverschiebungen und sind in Randbedingungen vorgegeben. Im Vektor der äußeren Kräfte besteht der untere Teil aus Nullen, weil an Orten, wo Verschiebungsrandbedingungen vorliegen, keine Kräfte vorgegeben werden können. Die Massenmatrix wird ebenfalls partitioniert:
Damit entsteht aus der Gleichung (PvdA):
wenn mu die Dimension des Vektors ist. Die obige Gleichung erzwingt das Verschwinden der Summe in den runden Klammern mit dem Resultat:
Sobald die Verschiebungen vollständig ermittelt wurden, ist es üblich – falls gewünscht – aus der herausgefallenen unteren Gleichungszeile die Reaktionen an den Lagerungen zu berechnen, beispielsweise:
Im Text angenommene Vereinfachungen
Der Einfachheit halber werden im Folgenden nur statische Festlager betrachtet, in denen die Verschiebungen und Beschleunigungen null sind. Dann treten diese Verschiebungen und Beschleunigungen im Gleichungssystem nicht auf und auf eine Partitionierung in unbekannte und bekannte Anteile kann verzichtet werden. Der Vektor mit den Unbekannten habe nach wie vor die Dimension m. Dann folgt aus der Gleichung (PvdA) unmittelbar die Bewegungsgleichung:
Des Weiteren soll im Folgenden jede Abhängigkeit von den Geschwindigkeiten, wie sie bei viskosen Materialien oder geschwindigkeitsabhängigen Kräften vorliegt, der Einfachheit halber vernachlässigbar sein.
Verschiebungen und Beschleunigungen
In der Matrizengleichung (*) kommen die Knotenbeschleunigungen vor, aber in der Verschiebungsmethode sind die Verschiebungen die primären Unbekannten. Hier soll geklärt werden, wie aus den Verschiebungen standardmäßig die Beschleunigungen ermittelt werden.
Die Beschleunigungen sind die zweite Ableitung der Verschiebungen nach der Zeit und daher sind die Beschleunigungen und Verschiebungen nicht voneinander unabhängig, vielmehr kann die eine aus der anderen über Zeitintegration oder -ableitung berechnet werden. Üblicherweise werden für die Zeitintegration Einschrittverfahren eingesetzt, in denen die Verschiebungen und Beschleunigungen zur Zeit aus zur Zeit bekannten Werten berechnet werden. Weit verbreitet sind vor allem zwei Zeitintegrationsverfahren:
Das implizite Newmark-beta-Verfahren und die explizite Zeitintegration.
Im Newmark-beta-Verfahren sollen hier die Verschiebungen als primäre Unbekannte benutzt werden, die gemäß
Beschleunigungen bewirken. Der Parameter kommt aus dem Integrationsalgorithmus und der Vektor ist zur Zeit bekannt.Vergleich der Gleichung
mit der Vorschrift für die Aktualisierung der Variablen
ergibt: und In der expliziten Zeitintegration ist
Der Skalar ist auch ein Parameter des Integrationsalgorithmus und der Vektor ist zur Zeit bekannt. Vergleich der Gleichung
mit der Vorschrift für die Aktualisierung der Variablen
ergibt: und
Diese Ergebnisse werden bei der Lösung der Matrizengleichungen benötigt.
Anwendungen
Linearer Fall
Im linearen Fall hängen die Spannungen linear von den Knotenverschiebungen (aber nach Voraussetzung nicht von den Geschwindigkeiten) ab:
Der Vektor enthält Eigenspannungen und die Stoffmatrix ist bei Linearität von den Verzerrungen und damit von den Knotenverschiebungen unabhängig. Die Verzerrungen sind ebenfalls linear in den Verschiebungen was auch für die virtuellen Verzerrungen gilt. Damit berechnen sich die Reaktionen zu
Die lineare Steifigkeitsmatrix KL ist von den Verschiebungen unabhängig. Einsetzen in die Bewegungsgleichung (*) liefert zu einer Zeit tn+1 die Bestimmungsgleichung für die Knotenverschiebungen:
mini|Freie Schwingung eines einseitig eingespannten Balkens Diese lineare Gleichung mit von den Verzerrungen unabhängiger Massenmatrix und Steifigkeitsmatrix kann in den Modalraum übertragen werden, mit einem Resultat wie im Bild.
In dem im Newmark-beta-Verfahren die Beschleunigungen mit den Verschiebungen gemäß ausgedrückt werden, kann in jedem Zeitschritt die Verschiebung berechnet werden:
Ist nur die Gleichgewichtslage mit gesucht, ergeben sich die Verschiebungen aus
Auch wenn im linearen Fall eine lineare Abhängigkeit der äußeren Kräfte von den Knotenverschiebungen einfach zu berücksichtigen wäre, wird hiervon normalerweise kein Gebrauch gemacht.
Implizite Lösung nichtlinearer Probleme mini|Geometrisch nichtlineare Analyse eines beulenden, elastoplastischen Trägers Die Knotenreaktion in der Bewegungsgleichung (*) hängt im nichtlinearen Fall nichtlinear von den Knotenverschiebungen ab. Ursachen der Nichtlinearität können sein:
Materielle Nichtlinearität Plastizität, nichtlineare Elastizität.
Verschiebungsabhängige Randbedingungen Von der Verformung abhängende Kräfte, Körperkontakt.
Geometrische Nichtlinearität Große Drehungen oder Verformungen, Knicken, Beulen.
Die Animation zeigt eine geometrisch nichtlineare, implizite Analyse eines beulenden, elastoplastischen Trägers.
Um die Knotenverschiebungen zu bestimmen, wird standardmäßig das Newton-Verfahren eingesetzt, das eine Linearisierung der Gleichung vorsieht. Linearisierung der Reaktionen liefert im Punkt Die Ableitung eines n1×1 Vektors y nach einem n2×1 Vektor x ist die n1×n2 Matrix Z mit den Einträgen
Dann wird auch geschrieben.
Die mit dem Superskript gekennzeichneten Größen können von den Verschiebungen abhängen. Die B-Matrix tut das nur im geometrisch nichtlinearen Fall und nur in diesem Fall muss also die geometrische Steifigkeitsmatrix aufgestellt werden.
Bei verschiebungsabhängigen äußeren Kräften wird auch der Knotenkraftvektor linearisiert
was auf eine m×m Matrix Fi führt. In dynamischen Systemen bewirkt das Verschiebungsinkrement auch ein Beschleunigungsinkrement: Einsetzen dieser Resultate in die Bewegungsgleichung (*) liefert mit der Abkürzung
Ist nur die Gleichgewichtslage mit gesucht, reduziert sich das auf