Die Bieberbachsche Ungleichung ist ein Resultat der Konvexgeometrie, welches nach dem Mathematiker Ludwig Bieberbach (1886–1982) benannt ist. Sie behandelt den Zusammenhang zwischen Volumen und Durchmesser gewisser ausgezeichneter Teilmengen des n-dimensionalen euklidischen Raums.
Die Ungleichung Die Bieberbachsche Ungleichung lässt sich wie folgt formulieren:Burago-Zalgaller: S. 93.Hadwiger, S. 173.
Für einen nichtleeren kompakten konvexen KörperHugo Hadwiger nennt einen derartigen Körper auch Eikörper; vgl. Hadwiger, S. 198. des -dimensionalen euklidischen Raums gilt hinsichtlich seines Volumens Das n-dimensionale Volumen bzw. – im zweidimensionalen Fall – der Flächeninhalt eines Eikörpers stimmt mit seinem Lebesgue-Maß überein; vgl. Hadwiger, S. 157. und seines Durchmessers stets die Ungleichung
wobei das Volumen der -dimensionalen Einheitskugel bedeutet.
In dieser Ungleichung besteht Gleichheit dann und nur dann, wenn mit einer -dimensionalen Kugel zusammenfällt.
Entwicklungsgeschichte Ludwig Bieberbach hat im Jahre 1915 die nach ihm benannte Ungleichung für die euklidische Ebene nachgewiesen. Sie wurde dann von verschiedenen Autoren verallgemeinert und zunächst von Wilhelm Blaschke auf den dreidimensionalen Raum übertragen.Blaschke, S. 122 ff. Daran schloss die weitere Verallgemeinerung der Ungleichung auf euklidische Räume höherer Dimension und dann sogar auf nichteuklidische Räume an. Größten Anteil an dieser Weiterentwicklung hatten vor allem Erhard Schmidt und einige russische Mathematiker wie Paul Urysohn. Wie sich zeigen lässt, ergibt sich die Bieberbachsche Ungleichung insbesondere als Folgerung einer allgemeinen Ungleichung über gemischte Volumina von Alexandroff-Fenchel.Burago-Zalgaller: S. 93 ff, 143 ff.Hadwiger, S. 178–179.
Siehe auch Isoperimetrische Ungleichung
Literatur
Einzelnachweise und Fußnoten
Bieberbachsche, Ungleichung Kategorie:Satz (Konvexgeometrie)