mini|400px|Blockschaltbild eines erweiterten Standardregelkreises.Die Störgröße kann an allen Teilen der Regelstrecke angreifen, meistens jedoch am Ausgang. Stellglied und Messglied müssen im Regelkreis berücksichtigt werden, wenn sie ein nicht vernachlässigbares Zeitverhalten haben oder von der idealen Kennlinie abweichen. Als Regelstrecke bezeichnet man in der Regelungstechnik denjenigen Teil eines Regelkreises, der die zu regelnde physikalische Größe – die Regelgröße – enthält, auf die der Regler über die Stellgröße wirken soll. Bekannte Regelgrößen sind z. B. Raumtemperatur, Füllstand eines Behälters, Position einer Mechanik.
Die Regelstrecke kann als dynamisches System aus einer Kette von meist unbekannten Einzelsystemen bestehen, deren Ausgangsgröße über ein Messglied gemessen und über einen Soll-Ist-Wertvergleich an den Regler zurückgeführt wird. Das Stellglied als Schnittstelle zwischen Regler und Regelstrecke kann Bestandteil der Regelstrecke, des Reglers oder ein eigenständiges Gerät sein. Eine Steuerstrecke wird zu einer Regelstrecke, wenn sie in einen Regelkreis einbezogen wird.
Mathematisch wird die Regelstrecke als Übertragungssystem definiert. Sie kann aus einem oder aus mehreren Übertragungssystemen und aus Eingrößen- und Mehrgrößensystemen (MIMO) bestehen. Die Übertragungssysteme können lineares und nichtlineares Verhalten aufweisen. Dementsprechend sind die mathematischen Beschreibungen der Regelstrecke unterschiedlich.
Lineare Übertragungssysteme (Lineares zeitinvariantes System) können durch Differentialgleichungen, durch Übertragungsfunktionen, durch numerische zeitdiskrete Methoden (Differenzengleichung (Differenzenverfahren)) und im Zustandsraum beschrieben werden.
Nichtlineare Übertragungssysteme wie Signalbegrenzungen und Systeme mit nichtlinearen Kennlinien können in Form von Tabellen (Matrizen) mit numerischen zeitdiskreten Methoden (siehe Numerische zeitdiskrete Verfahren) oder in der Zustandsraumdarstellung beschrieben werden. Totzeitsysteme können mit der komplexen Frequenz beschrieben oder mit numerischen zeitdiskreten Methoden berechnet werden.
Um den Regler für anspruchsvolle Regelaufgaben auslegen zu können, ist es nötig, die Regelstrecke zu identifizieren. Dies geschieht über die Erstellung eines mathematischen Modells der Regelstrecke, das möglichst genau das zeitliche Verhalten der Regelstrecke wiedergeben soll. Lässt sich das Modell nicht berechnen, kann als Identifizierungsmethode (siehe Identifizierung Regelstrecke) die Regelstrecke durch ein geeignetes Testsignal angeregt und das Ausgangssignal aufgezeichnet werden. Das zeitliche Verhalten dieser Signale erlaubt die Identifizierung zu einem Streckenmodell.
Charakterisierung der Regelstrecken Die allgemeine Form einer Differentialgleichung für ein lineares zeitinvariantes Übertragungsglied (lineares zeitinvariantes System) mit als Eingangsgröße und als Ausgangsgröße und konstanten Koeffizienten lautet:
Der höchste Grad der Ableitung von gibt die Anzahl der Systemspeicherelemente der Strecke wieder.
Für alle Eingangssignale wird vorausgesetzt, dass sie für verschwinden. Damit kann das einseitige Laplace-Integral verwendet werden. Mit Hilfe der Laplace-Transformation lässt sich eine Zeitfunktion auf eine Bildfunktion abbilden.
Für die Transformation aus dem Zeitbereich in den s-Bereich existieren mehrere Lehrsätze wie Verschiebesatz, Dämpfungssatz, Differentiationssatz, Integrationssatz, Faltungssatz, Grenzwertsätze. Diese Laplace-Lehrsätze sind in jedem Fachbuch der Regelungstechnik beschrieben.
Anwendung der Übertragungsfunktion G(s) Wird die Differentialgleichung eines Übertragungssystems mittels des Laplace-Differentiationssatzes in den s-Bereich (auch Bildbereich) transformiert, entsteht die allgemeine Form der Übertragungsfunktion als eine rational gebrochene Funktion in Polynom-Darstellung.
Die Übertragungsfunktion ist definiert als das Verhältnis von Ausgangssignal zu Eingangssignal eines Systems als Funktion der komplexen Frequenz :
Sind in der Polynomdarstellung alle Ableitungen und zugehörige Koeffizienten lückenlos mit positivem Vorzeichen vorhanden, stellt die Übertragungsfunktion für die Exponenten ein zeitverzögerndes asymptotisch stabiles System dar.
Es bestehen mehrere Wege, die zu einer Übertragungsfunktion führen: Laplace-Transformation der systembeschreibenden gewöhnlichen Differentialgleichung, aus dem Signalverhältnis , wenn dieses bekannt ist, durch Messen des Frequenzgangs , Spannungsteiler aus einem rückwirkungsfreien Impedanzverhältnis, (Beispiel: RC-beschalteter Operationsverstärker), durch Systemidentifikation mittels Sprung- oder Impulsantwort.
Die Übertragungsfunktion ist eine abstrakte nicht messbare Größe und beschreibt das mathematische Verhalten eines linearen zeitinvarianten Systems im Frequenzbereich mit der komplexen Variable . Sie wird nach der Zerlegung der Zähler- und Nennerpolynome durch Nullstellenbestimmung in Produktterme (Linearfaktoren) erfolgreich eingesetzt für Systemanalyse, Systemsynthese, Systemstabilität und erlaubt die algebraische Behandlung von beliebig geschalteten rückwirkungsfreien Teilsystemen. Die Lage der Nullstellen und Polstellen einer Übertragungsfunktion in der s-Ebene im Pol-Nullstellen-Diagramm ist eines der wichtigsten Kriterien zur Bestimmung der Stabilität eines Systems.
Die im komplexen Frequenzbereich (s-Bereich) definierten Übertragungssysteme haben folgende Bedeutungen: ist die unabhängige Variable im komplexen Frequenzbereich (Bildbereich, s-Bereich) mit als Realteil und als Imaginärteil. Sie erlaubt beliebige algebraische Operationen im s-Bereich, ist aber nur ein Symbol für eine vollzogene Laplace-Transformation und enthält keinen Zahlenwert. Exponenten von s entsprechen dem Grad der Ableitung der Differentiale. Zahlenwerte entstehen aus den Koeffizienten von und seinen Potenzen, indem die Polynome der s-Übertragungsfunktion durch Nullstellenzerlegung in Linearfaktoren (Produkte) zerlegt werden. Diese Nullstellen bzw. Pole können Null, real oder konjugiert komplex sein. In der Zeitkonstantendarstellung der Linearfaktoren bestimmt die Zeitkonstante als dimensionslose Zahl nach der inversen Transformation das Zeitverhalten eines Teilsystems im Zeitbereich. Fehlen die Grundglieder (Koeffizienten) oder der Übertragungsfunktion, wird der Linearfaktor . Die Variable lässt sich aus dem Polynom freistellen und bedeutet je nach Lage im Zähler oder Nenner ein globales differenzierendes oder integrierendes Systemverhalten im Zeitbereich. Linearfaktoren 2. Grades mit konjugiert komplexen Polen oder Nullstellen werden zur einfacheren Berechenbarkeit zu quadratischem Termen zusammengefasst, in denen nur reelle Koeffizienten auftreten. Die Zählerordnung der Übertragungsfunktion darf nicht größer als die Nennerordnung sein. Es gilt mit zu Null angenommenen Anfangsbedingungen.
Faktorisierung der Übertragungsfunktion im s-Bereich Mittels der Nullstellenbestimmung können die Polynome der Übertragungsfunktion in eine Produktform (Linearfaktoren) im Zähler und Nenner gebracht werden. Die Pole (Nullstellen des Nenners) oder Nullstellen (Nullstellen des Zählers) sind entweder Null, reell oder konjugiert komplex. Die Produktdarstellung im Zähler und Nenner der Übertragungsfunktion ist mathematisch identisch mit der Polynomdarstellung im Zähler und Nenner.
Für die Nullstellenbestimmung eines Polynoms bis 4. Ordnung sind im Internet fertige Programme unter dem Aufruf zu finden. Für Systeme 2. Ordnung kann die : verwendet werden zur Berechnung von der konjugiert komplexen Nullstellen.
Linearfaktoren der Pol-Nullstellendarstellung Beispiel der Zerlegung der Polynome der Übertragungsfunktion durch die Pol-Nullstellungbestimmung in reelle Linearfaktoren:
Da die Linearfaktoren des Zähler und Nenners der Übertragungsfunktion identisch sind, werden die Nullstellen und Polstellen zur vereinfachten Darstellung mit bezeichnet. Negative Realteile der Pole und Nullstellen der Linearfaktoren bedeuteten stabile Elementarsysteme, positive Realteile bedeuten instabile Elementarsysteme.
Bei den Linearfaktoren für reelle Pole und Nullstellen werden die negativen Zahlenwerte gleich gesetzt: Nullstelle (negativer Zahlenwert).
Bei den Linearfaktoren für Systeme 2. Ordnung mit reellen konjugiert komplexen Polen und Nullstellen haben die Zahlenwerte die Form: mit a = Realteil, Imaginärteile.
Liegen Zahlenwerte der Polynome der Übertragungsfunktion vor, können mit der Nullstellenbestimmung folgende Formen der Linearfaktoren entstehen: bei fehlenden Absolutgliedern (Koeffizienten) der Übertragungsfunktion:
bei reellen Polen und Nullstellen: = Realteil. bei Systemen 2. Ordnung mit konjugiert komplexen Polen und Nullstellen: = Realteil, = Imaginärteile. Diese Linearfaktoren werden zur einfacheren Berechenbarkeit zu quadratischem Termen zusammengefasst, in denen nur reelle Koeffizienten auftreten. .
Linearfaktoren der Zeitkonstantendarstellung Die Linearfaktoren der Pol-Nullstellen-Darstellung können auch als Zeitkonstantendarstellung definiert werden, in dem die Zahlenwerte der Pole oder Nullstellen als Quotient definiert werden. ()
Aus dem Linearfaktor 1. Ordnung wird in der Zeitkonstantendarstellung: , in der alle Terme positiv sind. Ein Faktor berücksichtigt, dass die Pol-Nullstellen-Darstellung und die Zeitkonstantendarstellung mathematisch identisch sein müssen.
Aus dem quadratischen Linearfaktor 2. Ordnung gilt in der Zeitkonstantendarstellung die Normalform:
mit D = Dämpfungsgrad.
Die faktorisierte Zeitkonstantendarstellung ist üblich und anschaulicher. Alle Terme der Übertragungsfunktion sind bei stabilen Systemen stets positiv.
Die Linearfaktoren im Nenner der Übertragungsfunktion bestimmen für ein gegebenes Eingangssignal das Zeitverhalten des Teilsystems. Die Linearfaktoren im Zähler haben nur Einfluss auf die Größe der Amplitude des Ausgangssignals .
In der linearen Regelungstechnik können alle Übertragungsglieder aus folgenden drei Grundformen zusammengesetzt werden. Sie haben eine völlig unterschiedliche Bedeutung, ob sie im Zähler oder im Nenner einer Übertragungsfunktion stehen. Weiterhin unterscheiden sie sich darin, ob es sich um reguläre oder um die nur selten natürlich vorkommenden nichtregulären Systeme handelt.
Die Linearfaktoren mit negativen Realteilen der Pole und Nullstellen kennzeichnen folgende stabile Elementarsysteme: Typ LinearfaktorPol-Nullstellen-DarstellungTyp LinearfaktorZeitkonstanten-Darstellung Bedeutung im Zähler Bedeutung im Nenner Absolutglied a0 oder b0 fehlt, Nullstelle oder Pol Differenzierer, D-Glied Integrator, I-Glied; reelle Nullstellemit -Glied Verzögerung, -GliedQuadratischer Linearfaktor:mit Normalform:mit -Glied für 0 < D < 1mit konjugiert komplexen Nullstellen.Anwendung: Vorfilter der Führungsgröße Schwingungsglied, -Gliedfür 0 < D < 1 mit konjugiert komplexen Polen. Dabei ist die Zeitkonstante, die komplexe Frequenz, der Dämpfungsgrad.
Sind die Zahlenwerte der Pole und Nullstellen positiv, ergeben sich folgende instabile Übertragungssysteme in der Zeitkonstantendarstellung: Typ LinearfaktorZeitkonstanten-Darstellung Bedeutung im Zähler Bedeutung im Nenner Nichtreguläres System 1. Ordnung Instabiles Übertragungsglied mit positiver Nullstelle(keine technische Bedeutung) Instabiles nichtreguläres Übertragungsglied mit einer positiven Polstelle.Als Übergangsfunktion monoton steigende Amplitude. Nichtreguläres System 2. Ordnung Instabiles Übertragungsglied 2. Ordnungmit einer negativen und positiven Nullstelle(keine technische Bedeutung) Instabiles Schwingungsglied mit einer negativen und positiven Polstelle.Als Übergangsfunktion monoton steigende Schwingamplitude.