Der Begriff der Anfangszahl () entstammt der Mengenlehre. Hier versteht man unter einer Anfangszahl die kleinste Ordinalzahl einer Mächtigkeitsklasse.

Der Begriff hängt direkt mit der Klasseneinteilung der unendlichen Ordinalzahlen nach ihrer Mächtigkeit zusammen. In jeder der dabei gebildeten Zahlklassen ist die Anfangszahl die (eindeutig bestimmte) kleinste Ordinalzahl innerhalb ihrer Klasse. Anfangszahlen und Alephs stehen zueinander in umkehrbar eindeutiger Beziehung (Bijektion).

Definition

Einer beliebigen unendlichen Kardinalzahl wird eine Klasse von Ordinalzahlen zugeordnet, die auch als Zahlklasse zu bezeichnet wird, die alle enthält, für die gilt. Die Zahlklasse enthält ein eindeutig bestimmtes Minimum, das mit notiert wird und die zu gehörige AnfangszahlKamke: S. 174 oder die Anfangszahl der Mächtigkeit Alexandroff: S. 79 genannt wird.

Ist für , so setzt man .

Eigenschaften

Die Anfangszahlen haben folgende Eigenschaften:Alexandroff: S. 79 ff.Fraenkel: S. 192 ff.Kamke: S. 174 ff.Hrbacek-Jech: S. 132 ff.Oberschelp: S. 189 ff.Sierpiński: S. 391 ff.

Keine Anfangszahl ist gleichmächtig einer Ordinalzahl, welche innerhalb der Ordinalzahlen echt kleiner ist als sie selbst. besteht also genau aus den natürlichen Zahlen. Bezeichnet man mit die Hartogs-Zahl-Funktion, so ist stets . , falls eine Limeszahl ist

Zu jeder Anfangszahl gibt es ein mit . Jede Anfangszahl ist eine Limeszahl. Für jedes hat den Ordnungstypus und somit die Mächtigkeit . Für gilt genau dann, wenn . Für gilt genau dann, wenn .

Anmerkungen

Neben der Schreibung findet man auch die Schreibung Klaua: S. 289 Manche Autoren fassen die Begriffe Aleph und Anfangszahl gleich auf.Ebbinghaus: S. 134 ff.Hrbacek-Jech: S. 135 Die erste obige Eigenschaft (1.) ist in gewissem Sinne charakteristisch für die Anfangszahlen, könnte also zur Definition herangezogen werden.Vgl. Hrbacek-Jech: S. 133 Geht man so vor, so hat man auch endliche Anfangszahlen, also die natürlichen Zahlen, zu betrachten. Georg Cantor folgend bezeichnet man als erste Zahlklasse die Menge der natürlichen Zahlen, während man die zweite Zahlklasse nennt.Kamke: S. 181Klaua: S. 290 Die erste Zahlklasse hat demnach die Mächtigkeit , die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit . Das berühmte Kontinuumsproblem lässt sich daher auch mit der Frage gleichsetzen, ob die zweite Zahlklasse die Mächtigkeit des Kontinuums hat.Kamke: S. 181 Im Zusammenhang mit den Anfangszahlen hat Felix Hausdorff den nach ihm benannten Satz von Hausdorff formuliert.

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Ordnungstheorie