Kugelwellentransformationen () lassen die Form von Kugelwellen sowie die Gesetze von Optik und Elektrodynamik in allen Inertialsystemen invariant. Sie entsprechen der bereits im 19. Jahrhundert bekannten konformen Gruppe der „Transformationen durch reziproke Radien“ im Zusammenhang mit der Kugelgeometrie von Sophus Lie. Sie wurden 1909 von Harry Bateman und Ebenezer Cunningham erstmals benutzt und erhielten von Bateman ihren Namen.Bateman (1908); Bateman (1909); Cunningham (1909) Da in Kugelwellentransformationen die Zeit als vierte Dimension im Sinne des Minkowski-Raumes benutzt wird, haben sie eine gewisse Analogie zu den Lorentz-Transformationen der speziellen Relativitätstheorie. Dabei zeigt sich, dass die konforme Gruppe die Lorentz-Gruppe und Poincaré-Gruppe als Untergruppen enthält, wobei letztere eine Symmetrie aller Naturgesetze einschließlich der Mechanik repräsentieren, während die konforme Gruppe nur gültig ist für bestimmte Bereiche wie die Elektrodynamik.Kastrup (2008)Walter (2012)Warwick (1992), (2012)
Ein Spezialfall der Lieschen Kugelgeometrie ist die ebenfalls im 19. Jahrhundert bereits bekannte „Transformation durch reziproke Richtungen“ oder Laguerre-Inversion, die erzeugender Operator der Gruppe der Laguerre-Transformationen ist. Sie bildet nicht nur Kugeln in Kugeln, sondern auch Ebenen in Ebenen ab.Müller (1910), Kapitel 25Pedoe (1972) Wird hier die Zeit als vierte Dimension benutzt, ergibt sich eine enge Analogie zur Lorentz-Transformation und der Lorentz-Gruppe, wie Bateman, Cartan oder Poincaré zeigten.Cartan (1915), S. 39–43Klein & Blaschke (1926), S. 253–262Blaschke (1929), Kapitel 4Kunle and Fladt (1970), S. 481Benz (1992), Kapitel 3.17
Transformation durch reziproke Radien Entwicklung im 19. Jahrhundert Inversionen, welche die Winkel von Kreisen erhalten, wurden erstmals von Durrande (1820) besprochen, wobei Quetelet (1827) und Plücker (1828) die entsprechenden Transformationsformeln niederschrieben, mit als dem Inversionsradius:Kastrup (2008), Abschnitt 2.2
Solche Inversionen wurden später als Transformationen durch reziproke Radien bezeichnet. Sie wurden bekannter als Thomson (1845, 1847) sie auf Kugeln mit Koordinaten anwendete, und damit Probleme der Elektrostatik lösen konnte.Kastrup (2008), Abschnitt 2.3 Joseph Liouville (1847, 1850) verdeutlichte ihre mathematische Bedeutung, indem er zeigte, dass sie zu den konforme Transformationen gehört. Sie erzeugt folgende Beziehung zwischen quadratischen Formen der Differentiale:Liouville (1847); Liouville (1850a); Liouville (1850b)
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Er selbstLiouville (1850b) und in viel allgemeinerer Weise Sophus Lie (1871)Lie (1871); Lie (1872) stellten fest, dass die dazugehörige Transformationsgruppe je nach Wahl von in verschiedene Typen unterteilt werden kann: die Euklidische Gruppe der gewöhnlichen Bewegungen; Ähnlichkeitsabbildungen; und bei ergeben sich die Transformationen durch reziproke Radien:
Lie (1871) und andere wie Gaston Darboux (1878) erweiterten darüber hinaus die Gruppe auf Dimensionen, sodass:Darboux (1872), S. 282
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Eine wesentliche Eigenschaft der konformen Transformationen durch reziproke Radien ist, dass sie Winkel erhalten und Sphären in Sphären transformieren (siehe Konforme Gruppe, Möbiustransformation). Sie ist eine 6-Parameter-Gruppe in der Ebene R2, eine 10-Parameter-Gruppe im Raum R3, und eine 15-Parameter-Gruppe in R4. In R2 stellt sie nur einen kleinen Teil aller konformen Transformationen dar, doch in R2+n ist sie identisch mit allen konformen Transformationen gemäß einem Theorem von Liouville.Fano (1907), S. 312–315 Die konformen Transformationen in R3 wurden häufig auf „pentasphärische Koordinaten“ gemäß Darboux (1873) bezogen. Es handelt sich dabei um homogene Koordinaten basierend auf fünf Kugeln, die den Punkten zugeordnet werden.E. Müller (1910), S. 706–712Kastrup (2008), Abschnitt 2.4
Orientierte Kugeln Eine weitere Methode zur Berechnung von Kreis- und Kugelproblemen war die Verwendung von rechtwinkligen Koordinaten zusammen mit dem Radius.E. Müller (1910), S. 706 Dies wurde von Lie (1871) im Rahmen der „Lieschen Kugelgeometrie“ benutzt, die Berührungstransformationen enthält mit der Krümmungslinien konserviert und Kugeln in Kugeln transformiert werden.Lie (1872), S. 183 Die vorher erwähnte konforme 10-Parameter-Gruppe in R3 mit pentasphärischen Koordinaten, wird erweitert zur 15-Parameter-Gruppe der Lieschen Kugeltransformationen, wobei gemäß Klein (1893) von nun an „hexasphärische Koordinaten“ zu benutzen sind, da eine sechste homogene Koordinate hinzugefügt wird die sich auf den Radius bezieht.Klein (1893), S. 474Fano (1907), S. 316E. Müller (1910), S. 706–712 Da der Radius allerdings je nach Vorzeichen positiv oder negativ sein kann, kommen auf eine Kugel immer zwei transformierte Kugeln. Um diese Zweideutigkeit zu beseitigen, ist es vorteilhaft, nur ein bestimmtes Vorzeichen für den Radius zu benutzen, wodurch die Kugeln eine bestimmte Orientierung erhalten, und folglich eine orientierte Kugel in eine andere orientierte Kugel transformiert wird.Müller (1910), S. 717 Diese Methode wurde gelegentlich und implizit von Lie (1871) benutzt, und ausdrücklich eingeführt durch Laguerre (1880). Darboux (1887) schrieb darüber hinaus die Transformation durch reziproke Radien in einer Form, wo aus dem Radius einer Kugel mit bestimmtem Vorzeichen der Radius der anderen Kugel bestimmt werden konnte:Darboux (1887), S. 225
Die Angabe der Koordinaten zusammen mit dem Radius war häufig verknüpft mit einer Methode die von Klein (1893) als „Minimalprojektion“ bezeichnet wurde,Klein (1893), S. 473 wobei Blaschke (1926) später dafür den Begriff „isotrope Projektion“ gebrauchte um den Zusammenhang zur Orientierung zu verdeutlichen.Klein & Blaschke (1926), S. 246–248 Ist ein Kreis mit Koordinaten und dem Radius in R2 gegeben, dann entsprechen sie gemäß Minimalprojektion einem Punkt mit den Koordinaten in R3. Diese Methode war im Rahmen der Kreisgeometrie schon länger bekannt (allerdings ohne eindeutige Orientierung) und kann weiter unterteilt werden je nachdem die zusätzliche Koordinate imaginär oder reell ist: findet sich bei Chasles (1852), Möbius (1857), Cayley (1867), Darboux (1872);Darboux (1872), S. 343–349, 369–383 findet sich bei Cousinery (1826), Druckenmüller (1842) und in der „Zyklographie“ Fiedlers (1882), weswegen sie auch „zyklographische Projektion“ genannt wird – siehe dazu auch E. Müller (1910).E. Müller (1910), S. 706–707, besonders Anmerkung 424. Diese Methode wurde nun auf Kugeln übertragenBateman (1912), S. 328 und 336 von Darboux (1872),Darboux (1872), S. 366 Lie (1871), und Klein (1893). Es seien sowohl die Mittelpunktskoordinaten als auch die Radien zweier Kugeln und im dreidimensionalen Raum R3 gegeben. Wenn sich die Kugeln gleichsinnig berühren, ist ihre Gleichung gegeben mit
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Wird gesetzt, entsprechen sie den folgenden rechtwinkligen Koordinaten in einem vierdimensionalen Raum R4:
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Allgemein konnte Lie (1871) zeigen, dass die konformen Punkttransformationen in Rn (zusammengesetzt aus Bewegungen, Ähnlichkeiten, und Transformationen durch reziproke Radien) in Rn-1 denjenigen Kugeltransformationen entsprechen welche Berührungstransformationen sind.Lie (1871), S. 201ff; Lie (1872), S. 186; Lie & Scheffers (1896), S. 433–444Klein & Blaschke (1926), S. 258 Klein (1893) zeigte darüber hinaus mittels Anwendung der Minimalprojektion auf hexasphärische Koordinaten, dass die 15-Parameter-Transformationen der Lieschen Kugelgeometrie in R3 ein einfaches Abbild der konformen 15-Parameter-Transformationen in R4 sind, während die Punkte des R4 wiederum als die stereographische Projektion von Punkten einer Kugel in R5 angesehen werden können.Klein & Blaschke (1926), S. 253
Bezug zur Elektrodynamik Harry Bateman und Ebenezer Cunningham (1909) zeigten, dass die elektromagnetischen Gleichungen nicht nur lorentzinvariant, sondern im obigen Sinne auch skaleninvariant oder konform invariant sind.Kastrup (2008), Abschnitt 1.1 Das heißt, sie sind invariant unter der 15-Parameter-Gruppe der konformen Transformationen durch reziproke Radien in R4, die folgende Gleichung produziert:
wo die Zeit und die Lichtgeschwindigkeit gemäß dem Minkowski-Raum enthält. Bateman erkannte auch die Analogie zu den Transformationen der Lieschen Kugelgeometrie in R3, da der Radius dieser Kugelgeometrie interpretiert werden kann als der Radius einer expandierenden oder kontrahierenden Kugelwelle, weswegen sie von ihm als „Kugelwellentransformation“ bezeichnet wurde.Bateman (1909), S. 225, 240; (1910b), S. 623 Bateman bezog sich dabei auf Darbouxs Variante der Minimalprojektion und schrieb:Bateman (1912), S. 358
Analog zur Vorgehensweise von Liouville und Lie konnte Cunningham zeigen, dass diese Gruppe je nach Wahl von weiter unterteilt werden kann:Cunningham (1914), S. 87–89
(a) transformiert nicht nur Kugeln in Kugeln, sondern auch Ebenen in Ebenen. Sie enthält die Lorentz-Transformation, denn sie ist die Erweiterung der Euklidischen Gruppe der klassischen Mechanik zur 6-Parameter-Lorentz-Gruppe oder 10-Parameter-Poincaré-Gruppe mit Translationen.Cunningham (1914), S. 87–88
(b) sind Skalen- oder Ähnlichkeitstransformationen. Sie entsprechen der Multiplikation der Lorentz-Transformation mit einem von abhängigen Skalenfaktor.Cunningham (1914), S. 88 Mit ergibt sich beispielsweise die von Poincaré (1905) gegebene Gestalt:Poincaré (1906), S. 132.
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Wird jedoch definitiv gesetzt, ist die Gruppeneigenschaft nur noch bei (die Lorentz-Gruppe) gegeben, wie von Poincaré und Einstein gezeigt wurde. Nur diese ist verträglich mit dem Relativitätsprinzip für alle Naturgesetze, während die Gruppe der konformen und Ähnlichkeitstransformationen mit verschiedenem nur einzelne Gebiete wie Optik und Elektrodynamik symmetrisch abbildet.
(c) Bei ergibt sich schließlich die allgemeinste Variante, nämlich die konforme Gruppe der Transformationen durch reziproke Radien, die Inversionen in eine Hypersphäre darstellen:Cunningham (1914), S. 88–89
Sie werden zu reellen Kugelwellentransformationen im Rahmen der Lieschen Kugelgeometrie, wenn der reelle Radius statt benutzt wird, wodurch im Nenner gegeben ist. Bateman und Cunningham diskutierten auch die Möglichkeit, dass konforme Transformationen den Übergang in konstant beschleunigte Bezugssysteme ermöglichen, was von ihnen und späteren Autoren allerdings bezweifelt wurde.Kastrup (2008), Abschnitt 5.2 Felix Klein (1921) verwies auf den engen Zusammenhang der Methoden Batemans und Cunninghams und den Methoden der projektiven Geometrie, jedoch bemerkte er wie auch Einstein, dass die konforme Gruppe im Vergleich zur Lorentz-Gruppe nur eingeschränkt gültig ist:Klein (1910/21)
Das Konzept der konformen Abbildung hat in Spezialgebieten der modernen Physik wieder an Bedeutung gewonnen, besonders in konformen Feldtheorien wie einigen Quantenfeldtheorien.Kastrup (2008), Abschnitt 6
Transformation durch reziproke Richtungen Entwicklung im 19. Jahrhundert