Ellipse (Darstellende Geometrie)

400px|mini|Zentralprojektion eines Turmes mit Tor (Kreise) in Architektenanordnung Kreise und Ellipsen spielen in der Darstellenden Geometrie hauptsächlich als Randkurven von Objekten wie Zylinder, Kegel und Rotationsflächen eine wichtige Rolle. Schneidet man einen geraden Kreiszylinder oder einen geraden Kreiskegel schräg ab, so entsteht als Schnittkurve beim Zylinder immer eine Ellipse, beim Kegel nur bei nicht zu schrägem Schnitt. Es besteht dann die Notwendigkeit, einen Kreis oder eine Ellipse entweder mittels einer Parallelprojektion oder einer Zentralprojektion auf eine Bildtafel zu projizieren. Bei einer Parallelprojektion entsteht als Bild immer eine Ellipse, falls die Ellipsenebene nicht zur Projektionsrichtung parallel ist (s. u.). Bei einer Zentralprojektion entsteht eine Ellipse oder eine Parabel oder eine Hyperbel, falls die Ellipsenebene den Augpunkt (Projektionszentrum) nicht enthält (s. u.). Da der Hyperbel- und Parabelfall eher selten und der Kreis- bzw. Ellipsenfall der Regelfall ist, wurden für Ellipsen effektive Methoden entwickelt, ihre Bilder bei Parallelprojektion und Zentralprojektion zu konstruieren. Man kann relativ leicht eine Ellipse zeichnen, wenn ihr Mittelpunkt und ihre vier Scheitel bekannt sind. Also versucht man diese zu ermitteln. Dies ist im Fall einer Parallelprojektion deutlich einfacher als im Fall einer Zentralprojektion, da bei einer Parallelprojektion das Bild des Mittelpunktes der Mittelpunkt der Bildellipse ist (s. u.). Scheitel gehen allerdings fast nie wieder in Scheitel über. Bei Parallelprojektion liefern Scheitel wenigstens sog. konjugierte Durchmesser der Bildellipse, aus denen man mit Hilfe der Rytzkonstruktion die Scheitel rekonstruieren kann. Da meistens kein Ellipsenzirkel zur Verfügung steht, zeichnet man eine Ellipse am besten näherungsweise freihand mit Hilfe ihrer vier Scheitekrümmungskreise (s. u.). Diese Methode liefert erstaunlich „schöne“ Ellipsen. Auch Computer-Zeichenprogramme bieten oft die Möglichkeit, Ellipsen bei bekannten Mittelpunkten und Halbachsenlängen zu zeichnen.

Parallelprojektion einer Ellipse Den Nachweis, dass das Bild einer Ellipse bei einer Parallelprojektion wieder eine Ellipse ist, kann man begrifflich (ohne Rechnung) führen. Dies wird in vielen Büchern über Darstellende Geometrie so beschrieben. Ein kürzerer Weg verwendet analytische Geometrie und wird hier dargestellt.

Beschreibung einer Ellipse 300px|mini|Ellipse als affines Bild des Einheitskreises 400px|mini|Orthogonale Durchmesser eines Kreises mit Tangentenquadrat, Mittelpunkten paralleler Sehnen und einem affinen Bild: Ellipse mit konjugierten Durchmessern, Tangentenparallelogramm und Mittelpunkten paralleler Sehnen

Eine Ellipse kann man als affines Bild des Einheitskreises auffassen und mit einer Parameterdarstellung

beschreiben: Eine affine Abbildung besteht aus einer linearen Abbildung und anschließender Verschiebung. Der Vektor beschreibt den Mittelpunkt der Ellipse und die Punktepaare sowie beschreiben Durchmesser der Ellipse und sind die Bilder zweier orthogonaler Durchmesser des Einheitskreises. Solche Paare von Durchmessern heißen konjugierte Durchmesser. stehen i. A. nicht senkrecht aufeinander. D. h., und sind i. A. nicht die Scheitel der Ellipse. Durch Differentiation überzeugt man sich, dass (T): die Tangenten in den Punkten die Richtung von und die Tangenten in den Punkten die Richtung von haben (s. Bild). Da bei einer affinen Abbildung Mittelpunkte von Strecken in die Mittelpunkte der Bildstrecken übergehen und Parallelität erhalten bleibt, gilt: (M): Die Mittelpunkte der zu parallelen Sehnen liegen auf dem Durchmesser und umgekehrt. (s. Bild) Da ein Kreis beliebig viele Paare orthogonaler Durchmesser hat, besitzt eine Ellipse beliebig viele Paare konjugierter Durchmesser. Ein Punktepaar beschreibt einen Durchmesser und das Paar den dazu konjugierten Durchmesser.

Die Eigenschaft (M) erlaubt es, bei gegebener Ellipse als Punktmenge (Kurve) aus zwei parallelen Sehnen einen Durchmesser der Ellipse zu konstruieren. Der Mittelpunkt des Durchmessers ist der Mittelpunkt der Ellipse. Konstruiert man anschließend den Mittelpunkt einer zu parallelen Sehne, so erhält man durch Verbinden des Sehnenmittelpunktes mit den zu konjugierten Durchmesser .

Für die Projektion einer Ellipse ist folgende Eigenschaft wichtig: Sind die Vektoren aus dem Raum, so erhält man eine Parameterdarstellung einer Ellipse im Raum.

Beschreibung einer Parallelprojektion 300px|mini|Parallelprojektion einer Ellipse 350px|mini|Ellipse zu vorgegebenen konjugierten Halbmessern: Rytz-Konstruktion 250px|mini|Konstruktion der Scheitelkrümmungskreise einer Ellipse Eine Parallelprojektion projiziert mit parallelen Strahlen Punkte (im Raum) auf eine Ebene (Bildtafel). Ist die Projektionsrichtung und wird die Bildebene durch die Gleichung beschrieben, so wird ein Punkt auf

abgebildet (s. Parallelprojektion). Es muss gelten, da sonst die Bildtafel projizierend, d. h. parallel zur Projektionsrichtung wäre.

Wählt man die Bildtafel so, dass sie den Nullpunkt des Koordinatensystems enthält und wählt die Länge des Normalevektors so, dass ist, so nimmt die Projektionsformel folgende einfache Gestalt an:

Die Projektion ist in dieser Form eine lineare Abbildung.

Gilt , so liegt eine orthogonale Projektion (auf die Ebene) vor.

Bild einer Ellipse Bildet man eine Ellipse

gemäß der vereinfachten Projektionsformal ab, so ergibt sich als Bild die Kurve

wobei ist. Also gilt, falls die Ellipsenebene nicht parallel zur Projektionsrichtung ist: Das Bild einer Ellipse ist bei Parallelprojektion eine Ellipse. Im Fall sind die Ellipsenebene und die Bildtafel parallel und das Bild ist kongruent zur Originalellipse. Das Bild des Mittelpunktes ist der Mittelpunkt der Bildellipse. Konjugierte Halbmesser (Durchmesser) gehen in ebensolche über.

Konstruktion der Bildellipse Konstruktionsschritte: Konstruktion des Mittelpunkts und zweier konjugierter Punkte der Bildellipse. Als Urbilder von wählt man in der Regel einen Scheitel und einen Nebenscheitel der Originalellipse. Bestimmung der Ellipsenachsen mit Hilfe der Rytz-Konstruktion (s. Bild). Drehung von um 90 Grad auf zu. Hilfsgerade durch den gedrehten Punkt und zeichnen. Kreis durch , dessen Mittelpunkt Mittelpunkt des gedrehten Punktes und ist. Der Kreis schneidet die Hilfsgerade in zwei Punkten, deren Verbindungen zu die Achsengeraden ergeben. Die Halbachsenlängen lassen sich auf der Hilfsgeraden abmessen und damit die vier Scheitel zeichnen. Zeichnen der Ellipse mit einem Ellipsenzirkel oder der Scheitelkrümmungskreismethode. Dabei bestimmt man (wenn der Mittelpunkt und die vier Scheitel bekannt sind) nach der im Bild beschriebenen Methode zunächst die Mittelpunkte zweier Scheitelkrümmungskreise (der Hilfspunkt ergänzt die Punkte zu einem Rechteck). Mit Hilfe der Radien dieser Kreise lassen sich die fehlenden zwei Mittelpunkte für die restlichen zwei Scheitelkrümmungskreise antragen und die Krümmungskreise zeichnen. Nun ist es relativ leicht, freihand oder mit einem Kurvenlineal eine Kurve so einzuzeichnen, dass sie die großen Krümmungskreise von innen und die kleinen von außen berührt. 400px|mini|Projektion eines Würfels mit Kreisen: Vogelperspektive (links), senkrechte Parallelprojektion (Mitte), Zentralprojektion (rechts)

Sonderfälle Ist die Bildtafel parallel zur Kreis- bzw. Ellipsenebene (z. B. Vogelperspektive, s. Bild), so wird der Kreis bzw. die Ellipse unverzerrt abgebildet. Es brauchen also nur das Bild des Mittelpunktes und im Fall einer Ellipse zwei Scheitel ermittelt zu werden. Bei einer orthogonalen Parallelprojektion eines Kreises ist meistens keine Rytzkonstruktion nötig (s. orthogonale Axonometrie), da der Kreisdurchmesser, der parallel zur Bildtafel liegt, auf die Hauptachse der Bildellipse abgebildet wird. Mit Hilfe eines weiteren Ellipsenpunktes lässt sich dann auch die kleine Halbachsenlänge bestimmen.

Zentralprojektion 200px|mini|Zentralprojektion eines Kreises Eine Zentralprojektion ist rechnerisch und zeichnerisch deutlich schwieriger zu handhaben. Im Gegensatz zur Parallelprojektion kann das Bild eines Kreises nicht nur eine Ellipse sein, sondern auch eine Hyperbel und im Sonderfall auch eine Parabel. Selbst im Fall, dass das Bild eine Ellipse ist, geht der Kreismittelpunkt nicht in den Mittelpunkt der Bildellipse über (s. Bild). Damit gehen senkrechte Kreisdurchmesser auch nicht in konjugierte Durchmesser der Bildellipse über. Das zeichnerische Instrumentarium der Parallelprojektion ist also direkt nicht anwendbar. Erst, wenn man in der Lage ist, den Mittelpunkt einer Bildellipse und ein Paar konjugierter Durchmesser (Halbmesser) zu bestimmen, kann man wie oben mit der Rytzkonstruktion die Achsen bestimmen und die Bild-Ellipse zeichnen.

Ist man nur an einer skizzenhaften Zeichnung der Bildellipse interessiert, so kann man ein Tangentenparallelogramm samt Berührpunkten abbilden und die Ellipse mit Hilfe eines Kurvenlineals einfügen (s. Beispiel: Würfel mit Kreisen). Die Genauigkeit kann man durch Hinzunahme weiterer Punkte, z. B. der Punkte auf den Diagonalen und ihrer Bilder, erhöhen.

Ist das Bild eines Kreises eine Hyperbel, so lohnt es sich, die Asymptoten der Bildhyperbel zu konstruieren. Sie sind die Bilder der Tangenten in den beiden Schnittpunkten des Kreises mit der Verschwindungsebene. Der Schnitt der Asymptoten ist der Mittelpunkt der Bildhyperbel.Graf, Barner: Darstellende Geometrie. Quelle & Meyer, Heidelberg 1961, ISBN 3-494-00488-9, S. 277. Es genügt dann, einen Punkt der Hyperbel aus Grund- und Aufriss zu konstruieren. Mit der Eigenschaft „Mittelpunkt der Sehne halbiert auch die Sehne der Asymptoten“ lassen sich anschließend beliebig viele Hyperbelpunkte im perspektiven Bild erzeugen.

Mögliche Bilder eines Kreises 350px|mini|Zentralprojektion einer Kugel: Augpunkt in der Kugel, als Kreisbilder treten Kreis, Ellipse, Hyperbel und Gerade auf. Falls die Kreisebene durch den Augpunkt geht, d. h. projizierend ist, ist das Bild des Kreises eine Strecke oder Gerade.

In allen folgenden Fällen soll der Kreis nicht in einer Ebene durch den Augpunkt liegen.

Fall 0: Falls der Kreis parallel zur Bildtafel ist, ist das Bild wieder ein Kreis und der Kreismittelpunkt geht in den Mittelpunkt des Bildkreises über. Falls der Kreis in der Bildtafel liegt, bleibt der Radius unverändert; liegt er nicht in der Bildtafel, wird der Radius des Bildkreises skaliert (s. Bild). Fall 1: Falls der Kreis vor der Verschwindungsebene (d. i. die Ebene durch den Augpunkt, die parallel zur Bildtafel ist, s. Bild) liegt, ist das Bild eine Ellipse (s. Bild). Fall 2: Falls der Kreis die Verschwindungsebene berührt (in einem Punkt), ist das Bild eine Parabel. Fall 3: Falls der Kreis die Verschwindungsebene schneidet (in zwei Punkten), ist das Bild eine Hyperbel.