Die Zinsrechnung ist ein Teilgebiet und zugleich Grundlage der klassischen Finanzmathematik. Sie stellt mathematische Formeln und Verfahren zur Berechnung von Zinsen und zur zeitlichen Entwicklung von zinstragendem Kapital bereit.
Allgemeines Grundsätzlich gibt es zwei Modelle zur Berechnung von Zinsen: Bei der „einfache Zinsrechnung“ werden anfallende und nicht ausgezahlte Zinsen niemals dem zinstragenden Kapital (z. B. Kredit, Darlehen oder Spareinlage) zugeschlagen. Bei der Zinseszinsrechnung hingegen werden nicht ausgezahlte Zinsen zum zinstragenden Kapital zugeschlagen und somit bei der weiteren Verzinsung berücksichtigt.
Des Weiteren kann man nach der Anzahl der Zinsperioden (Verzinsungen) im Jahr zwischen jährlicher (einmalige Verzinsung) und unterjähriger Verzinsung (mehrmalige Verzinsung), sowie dem Sonderfall stetiger Verzinsung unterscheiden. Standardfall ist die jährliche Verzinsung: Das Kapital wird einmal jährlich, üblicherweise am Jahresende, verzinst. Dabei wird die Verzinsung im Anschluss an die Zinsperiode als dekursiv, die Vorabverzinsung als antizipativ bezeichnet.
Wird innerhalb der Zinsperiode auf ein Sparkonto eingezahlt oder davon abgehoben, so wird von Finanzunternehmen im Allgemeinen die gemischte Verzinsung herangezogen. Diese Art der Verzinsung kommt deshalb auch bei allen Anlagen mit einer Laufzeit, die nicht einem Vielfachen der Zinsperiode entspricht (zum Beispiel 3,5 Jahre bei jährlicher Verzinsung), zur Anwendung. Man spricht hierbei von gebrochener Laufzeit.
Während die Zinsrechnung im Allgemeinen von einem einmalig eingezahlten beziehungsweise geliehenen Betrag bzw. Anfangskapital ausgeht, beschäftigt sich das Teilgebiet der Rentenrechnung umgekehrt vor allem mit regelmäßig wiederkehrenden Ein- und Auszahlungen, wobei beide Aspekte schließlich in Form der Tilgungsrechnung zusammenfließen, etwa, wenn auf eine einmalige Auszahlung eines Kredits anschließend einer Serie mehr oder minder regelmäßiger Einzahlungen folgt, mit denen dieser Kredit wieder „abgezahlt“, also getilgt wird.
Vorbemerkungen Die in diesem Artikel aufgeführten Formeln für die Zinsrechnung verwenden folgende Symbole: Anfangskapital: (Kapital nach 0 Jahren), Endkapital: (Kapital nach Jahren), Laufzeit (ganze Jahre): Eingabe in Jahren, Laufzeit (Tage): Eingabe in Tagen, Zinssatz in Prozent: (pro Zinsperiode), Zinssatz als Dezimalangabe: (pro Zinsperiode) und Zinssatz als Zinsfaktor: (pro Zinsperiode).
Je nach Berechnungsmethode schwankt das Jahr zwischen 360 und 366 Tagen, der Monat zwischen 28 und 30 bis 31 Tagen. Z. B. 7 % Zinssatz für die Laufzeit von 360 Tagen.
Jährliche Verzinsung
Einfache Zinsen ohne Zinseszinsen (lineare Verzinsung)
Bei jährlicher Verzinsung gilt für das Endkapital nach Jahren: .
Durch Umformung erhält man Formeln zur Berechnung des für ein bestimmtes Endkapital nötigen Startkapitals, Zinssatzes oder der Laufzeit:
Beispiel Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem jährlichen Zinssatz von 5 % über 2 Jahre angelegt. Bei einfacher Verzinsung ergibt sich ein Endkapital von .
Zinseszinsrechnung (exponentielle Verzinsung)
Die Formel für das Kapital nach Jahren bei jährlicher Verzinsung und Zinseszinsen lautet: .
Die Formel lässt sich umstellen, um bei gegebenem Endkapital das Startkapital, den Zinssatz oder die Laufzeit zu bestimmen:
Beispiel Ein Startkapital von 1.000 € wird zu einem jährlichen Zinssatz von 5 % p. a. über 2 Jahre angelegt. Mit Zinseszinsen ergibt sich ein Endkapital von .
Wird die Laufzeit gesucht, nach der sich das Startkapital verdoppelt hat (Verdoppelungszeit), so gilt allgemein: . Dieser Wert lässt sich auch durch die 72er-Regel abschätzen.
Wird schließlich umgekehrt von einem gegebenen Endwert auf das Startkapital zurückgerechnet, das zur Erzielung des Endwerts bei gegebener Laufzeit und gegebenem Zinssatz nötig wäre, wird dieser Wert als Barwert des Endwerts bzw. -kapitals bezeichnet:
.
In Worten: Um in 2 Jahren 1.100 € von einem mit 5 % p. a. verzinsten Konto abheben zu können, müssten dazu zum gegenwärtigen Zeitpunkt 997,73 € auf dieses Konto eingezahlt werden, anders gesagt, 1.100 € in 2 Jahren sind damit praktisch soviel wert wie ebendieser Betrag heute.
Unterjährige Verzinsung
Bei unterjährig verzinslichen Anlagen erfolgt die Zinsgutschrift mehrmals im Jahr. Der Zeitraum der Verzinsung ist also kleiner als ein Jahr. Üblich sind beispielsweise Zeiträume von:
einem halben Jahr, einem Quartal oder einem Monat oder tageweise bei Restmonaten.
Die Anzahl der Zinsperioden im Jahr wird in Formeln mit dem Buchstaben bezeichnet. Bei quartalsweiser Verzinsung zum Beispiel wäre (4 Quartale pro Jahr). Oftmals wird ein sogenannter nomineller Jahreszinssatz () angegeben.
Der relative Zinssatz beträgt dann:
.
Die Formeln der unterjährigen Verzinsung sind dann wie oben beschrieben zu verwenden, der Zinssatz gilt lediglich nicht mehr pro Jahr, sondern pro Zinsperiode. Die Laufzeit wird ebenfalls nicht in Jahren, sondern in Zinsperioden angegeben.
Einfache Verzinsung (linear)
Für das Endkapital nach Jahren mit je Zinsperioden sowie weiteren unterjährigen Zinsperioden gilt:
.
Dabei stellt die Gesamtzahl von Zinsperioden nach Jahren und Perioden dar (Laufzeit in Zinsperioden).
Beispiel
Ein Kapital von 1.000 € wird bei monatlicher Verzinsung () zu einem nominellen Jahreszinssatz von 6 Prozent angelegt.
Der relative Periodenzinssatz beträgt 0,5 %. Nach 2 Jahren und 4 Monaten ergibt sich mit einfachen Zinsen ein Endkapital von .
Verzinsung mit Zinseszinsen (exponentiell) Für das Endkapital nach Jahren mit je Zinsperioden sowie weiteren unterjährigen Zinsperioden gilt
.
Die Laufzeit in Zinsperioden berechnet sich also analog zur einfachen Zinsrechnung wieder zu .
Zusätzlich zum relativen und nominellen Zinssatz lässt sich beim Zinseszinsfall der effektive Jahreszinssatz bestimmen, bei dem eine einmalige jährliche Verzinsung zu ebendiesem Zinssatz dasselbe Endkapital liefert wie eine mehrmalige unterjährige Verzinsung zum relativen Zinssatz. Mit als dem nominellen Jahreszinssatz p. a., als der Zahl der Zinsperioden pro Jahr sowie dem relativen Periodenzinssatz gilt dann:Effektivzinsberechnung – Effektivzinssatz. Abgerufen am 17. August 2016.
.
Multipliziert man die Klammer aus und lässt die höheren Potenzen von (die für kleine fast gar nichts zu der Summe beitragen) weg, kann man den Effektivzins gut abschätzen:
.
Der zusätzliche Zinsgewinn bei mehrmaliger unterjähriger Verzinsung gegenüber der einmaligen jährlichen Verzinsung kann damit wie folgt abgeschätzt werden:
.
mini|hochkant=1.4|Zusammenhang der verschiedenen in der Zinsrechnung gebräuchlichen Zinssätze und -faktoren Ist lediglich der Effektivzins gegeben, so ergibt sich der relative Periodenzinssatz, in diesem Fall von manchen Autoren auch „konformer Zinssatz“ genannt, gemäß folgender Formel:
.
Was den Begriff des ebengenannten konformen Zinssatzes bzw. -fußes angeht, findet sich dieser im Schrifttum allerdings leider, wie schon der des effektiven Zinssatzes, auf mehrere nicht immer leicht voneinander unterscheidbare Weisen verwendet, was leicht zu Verwechslungen und Missverständnissen führt. Entscheidend ist dabei in allen Fällen, was als Bezugspunkt des konformen Zinssatzes gewählt wird, d. h. womit dieser Zinssatz „konform“ bzw. wozu er „äquivalent“ oder „wertgleich“ sein soll.
So wird er von einzelnen Autoren,Josef Leydold: Mathematische Methoden in den Wirtschaftswissenschaften. Grundkurs. Kapitel 1: Renditen. WU Wien, SS 2006; abgerufen am 18. August 2016. aber z. B. SAP in deren Banking-SoftwareUnterjährige Zinseszinsrechnung. SAP; abgerufen am 17. August 2016. als konformer Jahreszinssatz mit dem effektiven Jahreszinssatz gleichgesetzt, im Gros der Fälle jedoch lediglich ausgehend von diesem oder dem nominellen Jahreszinssatz definiert.
Erfolgt die Definition des „konformen“ Zinssatzes bzw. -fußes gemäß nachstehender Formel lediglich auf Grundlage des effektiven JahreszinsatzesAlfred Brink: Finanzmathematik. Universität Münster, S. 31; abgerufen am 17. August 2016., ohne ihn mit diesem gleichzusetzen, erweist er sich damit in der Endkonsequenz als nichts anderes als der schon genannte relative Periodenzinssatz:
.
Dieser „konforme“ Zinssatz ist somit derjenige Zinssatz, der bei m-facher geometrischer bzw. exponentieller Verzinsung zum Jahresende dasselbe Ergebnis wie die einfache Anwendung des effektiven Jahreszinssatzes liefert:
.
Um Missverständnissen vorzubeugen, sollte der so definierte „konforme“ Zinssatz daher präziser als zum effektiven Jahreszinssatz konformer (wertgleicher) unterjähriger ZinssatzJürgen Tietze: Übungsbuch zur Finanzmathematik, Formelanhang 1 (ZU den Grundlagen der klassischen Finanzmathematik); Wiesbaden 2011, S. 422–423 [als PDF abrufbar, aber ohne festen Link]. bezeichnet –– oder stattdessen besser von vornherein dem bedeutungsgleichen Begriff des relativen Periodenzinssatzes der Vorzug gegeben – werden.
Der andere Teil der überwiegenden Zahl von Autoren dagegen wählt als Bezugspunkt für die Definition des „konformen“ Zinssatzes statt des effektiven den nominellen JahreszinssatzWolfgang Blaas: Finanzmathematik - Folien zur Vorlesung. (PDF) TU Wien, S. 12; abgerufen am 17. August 2016.
.
Der „konforme“ Zinssatz ist damit nun – anders als zuvor – derjenige Zinssatz, der bei m-facher geometrischer bzw. exponentieller Verzinsung zum Jahresende dasselbe Ergebnis wie die einfache Anwendung des nominellen Jahreszinssatzes liefert
,
weshalb er von einigen Autoren auch als – man sollte ergänzen „zum nominellen Jahreszinssatz“ – konformer (äquivalenter) unterjähriger (PDF) FH Düsseldorf; abgerufen am 18. August 2016.Jutta Gerhard: Zins-, Zinseszins- und Rentenrechnung. VHS Floridsdorf; abgerufen am 18. August 2016. oder PeriodenzinssatzEffektivzinsberechnung – Relativer und konformer Periodenzinssatz. Abgerufen am 17. August 2016.Konformer Periodenzins. Abgerufen am 17. August 2016. bezeichnet wird.
Beispiel 1
Ein Kapital von 1.000 € wird wie oben angelegt ; , .
Nach 2 Jahren und 4 Monaten und damit 28-maliger geometrischer bzw. exponentieller Verzinsung mit dem relativen Periodenzinssatz beträgt das Kapital inkl. der Zinseszinsen dann .
Dasselbe Resultat erhielte man aber auch, wenn man von vornherein mit dem effektiven Jahreszinssatz, in diesem Fall ,
rechnen würde: .
Würde dagegen in gleicher Weise, nur diesmal mit dem (zum nominellen Jahreszinssatz) konformen Periodenzinssatz verzinst, ergäbe sich nach Ablauf der 28 Monate nur noch ein Kapital inkl. Zinseszinsen von
.
Beispiel 2
Ein Kapital von 10.000 € wird angelegt zu jährlich.
Bei einer jährlichen Verzinsung () beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:
der Effektivzins ist .
Bei einer unterjährigen quartalsweisen Verzinsung () beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:
Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer quartalsweisen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist . und kann abgeschätzt werden mit: .
Bei einer unterjährigen monatlichen Verzinsung () beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:
Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer monatlichen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist . und kann abgeschätzt werden mit: .
Bei einer unterjährigen stetigen Verzinsung (, siehe weiter unten) beträgt das Kapital mit Zinsen nach einem Jahr:
Der zusätzliche Zinsgewinn bei einer stetigen Verzinsung gegenüber der jährlichen Verzinsung ist . und kann abgeschätzt werden mit: .
Eine Geldanlage mit einer jährlichen einmaligen Verzinsung von z. B. 3,05 % ergäbe damit also stets einen höheren Zinsertrag als eine Geldanlage mit einem nominalen Zinssatz von nur 3,00 % und dafür beliebig häufiger unterjähriger Verzinsung.