mini|400px|Hopf-Verschlingung mini|Hopf-Verschlingung In der Knotentheorie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Hopf-Verschlingung (auch Hopf-Link) das einfachste Beispiel einer Verschlingung zweier Kreise.
Hopf-Verschlingung Die Hopf-Verschlingung ist eine Verschlingung bestehend aus zwei Unknoten (d. h. unverknoteten Kreisen), deren Verschlingungszahl (je nach Orientierung) plus oder minus 1 beträgt.
Ein konkretes Modell sind zum Beispiel die im durch und parametrisierten Kreise.
Topologie des Komplements Das Komplement der Hopf-Verschlingung in der 3-Sphäre ist homöomorph zu . Die Linkgruppe, also die Fundamentalgruppe des Komplements, ist isomorph zu , der freien abelschen Gruppe mit zwei Erzeugern.
Invarianten Das Jones-Polynom ist , das HOMFLY-Polynom ist , die Hopf-Verschlingung ist der -Torus-Link und sie ist der Abschluss des Zopfes .
Hopf-Faserung und Homotopiegruppen, Hopf-Invariante Heinz Hopf untersuchte 1931 die Hopf-Faserung
und stellte fest, dass je zwei Fasern eine Hopf-Verschlingung bilden.
Allgemein definierte er für Abbildungen die heute als Hopf-Invariante bezeichnete Invariante als Verschlingungszahl der Urbilder zweier regulärer Werte von und er bewies, dass die Zuordnung mini|Shingon-shu Buzan-ha crest
einen Isomorphismus
ergibt.
Vorkommen in Kunst, Wissenschaft und Philosophie mini|Catenane Die Hopf-Verschlingung wird von der dem Shingon-shū zuzuordnenden buddhistischen Sekte Buzan-ha als Symbol verwendet. Catenane stellen eine Hopf-Verschlingung dar. Die Hopf-Verschlingung kommt in zahlreichen Skulpturen des japanischen Künstlers Keizo Ushio vor.
Literatur Heinz Hopf: Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche. Math. Ann. 104 (1931), 637–665 (Göttinger Digitalisierungszentrum) Colin Adams: Das Knotenbuch. Spektrum Akademischer Verlag (1995). ISBN 978-3860253380
Weblinks
Hopf Link auf MathWorld Topology of a Twisted Torus Numberphile (Video)
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