0,999…

300px|mini|Künstlerische Darstellung der Dezimalzahl

Die periodische Dezimalzahl 0,999… (auch mit mehr oder weniger Neunern vor den Auslassungspunkten sowie als 0,9 oder 0,(9) geschrieben) bezeichnet die reelle Zahl 1. Die Symbole „0,999…“ und „1“ stellen also dieselbe Zahl dar (siehe Stellenwertnotation). Beweise dieser Gleichung wurden mit unterschiedlichem Grad an Strenge formuliert, je nach bevorzugter Einführung der reellen Zahlen, Hintergrundannahmen, historischem Kontext und Zielgruppe.

Ferner hat jede abbrechende Dezimalzahl ungleich 0 eine alternative Darstellung mit unendlich vielen Neunern, zum Beispiel 8,31999… für 8,32. Die abbrechende Darstellung wird wegen der Kürze meist bevorzugt, was die Fehlannahme begünstigt, sie sei die einzige. Das gleiche Phänomen tritt auch in anderen Basen auf. Gleichwohl wurden Systeme entwickelt, in denen die Gleichung nicht gilt.

Dieser Artikel soll eine Übersicht geben, unter welchen mathematischen Regeln der Symbolfolge 0,999… welche mathematische Bedeutung gegeben werden kann.

Elementare Beweise Die folgenden Beweise nutzen Konzepte, die aus der Schulmathematik bekannt sind. Dabei wird angenommen, dass periodische Dezimalbruchentwicklungen stets eine rationale Zahl darstellen. So wird etwa als gegeben angenommen, da die handschriftliche Division dieses Resultat erzeugt. In den weiteren Betrachtungen geht es daher nicht darum, ob etwas Sinnvolles darstellt, sondern nur noch um die Frage, welche Zahl damit gemeint sein soll. Die handschriftlichen Verfahren zur Durchführung der vier Grundrechenarten werden ebenfalls auf nichtabbrechende Dezimalbruchentwicklungen übertragen und als weiterhin gültig angenommen.

Schriftliche Subtraktion Wird schriftlich von links nach rechts von subtrahiert, ergibt sich

Brüche Durch schriftliche Division lässt sich der Quotient 1/9 in die Dezimalzahl 0,111… umschreiben. Eine Multiplikation von 9 mal 1 macht jede Stelle zu einer 9, also ist 9 mal 0,111… gleich 0,999…, und 9 mal 1/9 ist gleich 1, woraus 0,999… = 1 folgt:

Der Beweis lässt sich auch mit anderen Brüchen führen wie 2/7 = 0,285714 285714 …: 285714/2 ist gleich 142857, dies mal 7 ergibt 999999. Meist werden sie aber mit den Brüchen 1/3 oder 1/9 geführt, da ihre Perioden einstellig sind und sie lediglich die Multiplikation mit einer einstelligen Zahl erfordern.

Umformung einer Unbestimmten lässt sich wie folgt umarbeiten:

Durchschnitt Wären 0,999… und 1 verschiedene Zahlen, wäre der Durchschnitt (0,999… + 1)/2 = 1,999…/2 wieder ein anderer. Tatsächlich ist 1,999…/2 = 0,999…, womit bewiesen ist, dass 0,999… = 1 ist.

Stellenwertsysteme Im Stellenwertsystem zur Basis q entspricht die (in der Standardnotation hingeschriebene) Zahl 0,999… dem Bruch 9/(q − 1). Für die Basis q = 10 gilt also:

Diskussion Die obigen Beweise fußen auf Annahmen, deren Sinn hinterfragt werden könnte, wenn sie als Axiome hingenommen werden.William Byers argumentiert, wer aufgrund solcher Beweise 0,999… = 1 akzeptiere, aber die Mehrdeutigkeit nicht aufgelöst habe, habe die Gleichung nicht wirklich verstanden (Byers S. 39–41). Eine Alternative, die den Kernpunkt bei der dichten Ordnung der reellen Zahlen ansetzt:

Sollen reelle Zahlen durch Dezimaldarstellungen eingeführt werden, wird oft definiert, dass x kleiner als y ist, wenn die Dezimaldarstellungen der Zahlen verschieden sind und die von links aus gesehen erste unterschiedliche Stelle von x kleiner ist als die entsprechende Stelle von y. Zum Beispiel ist (0)43,23 kleiner als 123,25, weil der erste Unterschied bei 0 < 1 zu sehen ist. Nach dieser Definition kommt es auch tatsächlich zu dem Schluss 0,999… < 1.

An der Stelle sollte jedoch bedacht werden, dass von den reellen Zahlen eine dichte Ordnung verlangt wird: Zwischen zwei verschiedenen reellen Zahlen liegt stets eine von den beiden verschiedene dritte. Demzufolge ist es sinnvoll, zu definieren, dass x kleiner als y ist, wenn es nach dem bereits erwähnten Kriterium eine Zahl dazwischen gibt, und weil bei 0,999… alle Stellen mit 9 – der höchsten Ziffer – belegt sind, kann es keine Zahl zwischen 0,999… und 1 geben, womit 0,999… = 1 ist.Im Artikel Stellenwertsystem#Lexikographische Ordnung wird gezeigt, dass der Ordnungshomomorphismus, der den Zeichenketten bspw. über einem Alphabet {0, 1, …, 9} eine reelle Zahl zuordnet und der die Zeichenketten lexikographisch und die reellen Zahlen wie üblich anordnet, niemals ein Ordnungsisomorphismus sein kann.

Für einen tieferen Einblick lohnt sich ein Blick auf den analytischen Beweis.

Analytischer Beweis

Dezimalzahlen können als unendliche Reihen definiert werden. Im Allgemeinen:

Für den Fall 0,999… kann der Konvergenzsatz für geometrische Reihen angewandt werden:Rudin S. 61, Theorem 3.26; J. Stewart S. 706.

Wenn , dann .

Da 0,999… eine geometrische Reihe mit a = 9 und r = 1/10 ist, gilt:

Dieser Beweis (eigentlich, dass 10 = 9,999… ist) erscheint in Leonhard Eulers Vollständiger Anleitung zur Algebra.Euler, § 524.

Eine typische Herleitung aus dem 18. Jahrhundert nutzte einen algebraischen Beweis ähnlich dem oberen. 1811 brachte John Bonnycastle in seinem Lehrbuch An Introduction to Algebra ein Argument mit der geometrischen Reihe.Grattan-Guinness S. 69; Bonnycastle S. 177. Eine Reaktion des 19. Jahrhunderts gegen solch eine großzügige Summierung ergab eine Definition, die bis heute dominiert: Die Reihe aus den Gliedern einer unendlichen Folge ist definiert als der Grenzwert der Folge ihrer Partialsummen (Summen aus den ersten endlich vielen Summanden).

Eine Folge (a0, a1, a2, …) hat den Grenzwert x, wenn es für alle > 0 ein Glied der Folge gibt, ab dem alle Glieder weniger als von x entfernt sind. 0,999… kann als Grenzwert der Folge (0,9, 0,99, 0,999, …) verstanden werden:Der Grenzwert folgt zum Beispiel aus Rudin S. 57, Theorem 3.20e.

Der letzte Schritt folgt aus der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen. Die grenzwertbasierte Haltung findet sich auch in weniger präzisen Formulierungen. So erklärt das Lehrbuch The University Arithmetic aus dem Jahr 1846: „.999 +, continued to infinity = 1, because every annexation of a 9 brings the value closer to 1“ Arithmetic for Schools (1895) sagt: „when a large number of 9s is taken, the difference between 1 and .99999… becomes inconceivably small“.Davies S. 175; Smith und Harrington S. 115.

Durch die Interpretation als Grenzwert kann auch Darstellungen wie 0,999…1 eine Bedeutung beigemessen werden. 0,999…1 wäre dann als Grenzwert von (0,1, 0,91, 0,991, …) aufzufassen, ist damit aber wieder gleich 1. Im Allgemeinen haben Stellen nach einer Periode keine Auswirkung.

Beweise durch die Konstruktion der reellen Zahlen Einige Ansätze definieren die reellen Zahlen ausdrücklich als Strukturen, die sich aus den rationalen Zahlen ergeben, durch axiomatische Mengenlehre. Die natürlichen Zahlen – 0, 1, 2, 3 und so weiter – beginnen mit 0 und fahren aufwärts fort, sodass jede Zahl einen Nachfolger hat. Die natürlichen Zahlen können mit ihren Gegenzahlen erweitert werden, um die ganzen Zahlen zu erhalten, und weiter um die Verhältnisse zwischen den Zahlen, um die rationalen Zahlen zu erhalten. Diese Systeme werden von der Arithmetik der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division begleitet. Darüber hinaus haben sie eine Ordnung, sodass jede Zahl mit einer anderen verglichen werden kann und entweder kleiner, größer oder gleich ist.

Der Schritt von den rationalen Zahlen zu den reellen ist eine bedeutende Erweiterung. Es gibt mindestens drei bekannte Wege, sie zu bewerkstelligen: Dedekindsche Schnitte, Cauchy-Folgen (beide 1872 veröffentlicht) und Intervallschachtelungen. Beweise für 0,999… = 1, die solche Konstruktionen direkt nutzen, sind nicht in Lehrbüchern über Analysis zu finden. Selbst wenn eine Konstruktion angeboten wird, wird sie normalerweise verwendet, um die Axiome der reellen Zahlen zu beweisen, die dann den obigen Beweis stützen. Allerdings wurde mehrfach die Meinung geäußert, dass es logisch angemessener ist, mit einer Konstruktion zu starten.Griffiths und Hilton S. xiv sowie Pugh S. 10 ziehen Dedekindsche Schnitte den Axiomen vor. Für die Nutzung der Schnitte in Lehrbüchern, siehe Pugh S. 17 oder Rudin S. 17. Für Standpunkte in Bezug auf Logik, siehe Pugh S. 10, Rudin S. ix oder Munkres S. 30.

Dedekindsche Schnitte

Eine reelle Zahl kann als Dedekindscher Schnitt in definiert werden, also als vollständige Unterteilung der rationalen Zahlen in zwei nichtleere Mengen L|R, sodass l < r für alle l  L und r  R gilt.Enderton S. 113 verwendet eine ähnliche Definition, die dem entspricht, was hier als linke Menge bezeichnet wird. Die linke Menge von 0,999… enthält genau die rationalen Zahlen r, für die r kleiner ist als 0,9… mit einer beliebigen Anzahl von endlich vielen Neunern, also kleiner als eine Zahl der Form:

Da die Elemente der linken Menge alle rationalen Zahlen kleiner als 1 – so wie sie bei den rationalen Zahlen definiert ist – sind, wird der Schnitt 1 genannt.Rudin S. 17–20, Richman S. 399 und Enderton S. 119 nennen diesen Schnitt 1*, 1− und 1R und identifizieren ihn mit der traditionellen reellen Zahl 1. Was Rudin und Enderton einen Dedekindschen Schnitt nennen, nennt Richman nonprincipal Dedekind cut.

Die Definition der reellen Zahlen als Dedekindsche Schnitte wurde erstmals 1872 von Richard Dedekind veröffentlicht.

Cauchy-Folgen

Eine Folge heißt Cauchy-Folge, wenn es für alle  > 0 ein Glied der Folge gibt, ab dem alle Glieder weniger als voneinander entfernt sind. Um allen Cauchy-Folgen einen konkreten Grenzwert zuordnen zu können, werden die reellen Zahlen als Äquivalenzklassen von Cauchy-Folgen eingeführt. Zwei Cauchy-Folgen a und b heißen äquivalent, wenn die Folge (an − bn) den Grenzwert 0 hat, also eine Nullfolge ist. Die Zahl 1 steht für die Äquivalenzklasse der Cauchy-Folge (1, 1, 1, …), 0,999… steht für die Äquivalenzklasse der Cauchy-Folge (0,9, 0,99, 0,999, …). Die Folgen sind äquivalent wegen:

Ein möglicher Beweis dafür ist, dass alle Glieder ab dem n-ten weniger als von 0 entfernt sind, wenn  = m/n ist. Damit ist 0,999… = 1.

Diese Definition der reellen Zahlen wurde erstmals 1872 unabhängig voneinander von Eduard Heine und Georg Cantor veröffentlicht.

Intervallschachtelungen

mini|250px|Veranschaulichung der Gleichung 1 = 0,222…3 mit Intervallschachtelungen

Die reellen Zahlen lassen sich ebenso als Äquivalenzklassen rationaler Intervallschachtelungen definieren. Eine Folge von Intervallen ([an, bn]) heißt Intervallschachtelung, wenn a monoton wächst, b monoton fällt, an bn für alle n gilt, und die Folge (bn − an) eine Nullfolge ist. Zwei Intervallschachtelungen und sind äquivalent, wenn stets und gilt.

d0,d1d2d3… steht für die Äquivalenzklasse der Intervallschachtelung ([d0, d0 + 1], [d0,d1, d0,d1 + 0,1], …), folglich ist 0,999… die Äquivalenzklasse der Intervallschachtelung ([0, 1], [0,9, 1], [0,99, 1], …), 1 die der Intervallschachtelung ([1, 2], [1, 1,1], [1, 1,01], …). Da die geforderte Eigenschaft der Äquivalenz erfüllt ist, gilt 0,999… = 1.

Verallgemeinerungen Die Tatsache, dass 0,999… = 1 ist, lässt sich auf verschiedene Arten verallgemeinern. Jede abbrechende Dezimalzahl ungleich 0 hat eine alternative Darstellung mit unendlich vielen Neunern, zum Beispiel 0,24999… für 0,25. Ein analoges Phänomen tritt in jeder Basis für die Ziffern mit Wert auf: So ist im Dualsystem 0,111… = 1, im Ternärsystem 0,222… = 1 und so weiter.