(105,40,15)-Blockplan

Der (105,40,15)-Blockplan ist ein spezieller symmetrischer Blockplan. Um ihn konstruieren zu können, musste dieses kombinatorische Problem gelöst werden: eine leere 105×105-Matrix wurde so mit Einsen gefüllt, dass jede Zeile der Matrix genau 40 Einsen enthält und je zwei beliebige Zeilen genau 15 Einsen in der gleichen Spalte besitzen (nicht mehr und nicht weniger). Das klingt relativ einfach, ist aber nicht trivial zu lösen. Es gibt nur gewisse Kombinationen von Parametern (wie hier v = 105, k = 40, λ = 15), für die eine solche Konstruktion überhaupt machbar ist. In dieser Übersicht sind die kleinsten solcher (v,k,λ) aufgeführt.

Eigenschaften Dieser symmetrische Blockplan hat die Parameter v = 105, k = 40, λ = 15 und damit folgende Eigenschaften: Er besteht aus 105 Blöcken und 105 Punkten. Jeder Block enthält genau 40 Punkte. Je 2 Blöcke schneiden sich in genau 15 Punkten. Jeder Punkt liegt auf genau 40 Blöcken. Je 2 Punkte sind durch genau 15 Blöcke verbunden.

Existenz und Charakterisierung Es existieren mindestens vier nichtisomorphe 2-(105,40,15)-BlockpläneZvonimir Janko: The existence of symmetric designs with parameters (105,40,15). In: Journal of Combinatorial Designs. Bd. 7, Nr. 1, 1999, S. 17–19, .Rudolf Mathon, Alexander Rosa: 2-(ν, κ, λ) Designs of Small Order. In: Charles J. Colbourn, Jeffrey H. Dinitz (Hrsg.): Handbook of Combinatorial Designs. 2nd Edition. Chapman & Hall/CRC, Boca Raton FL u. a. 2007, ISBN 978-1-4200-1054-1, S. 25–57.. Diese Lösungen sind: Lösung 1 (dual zur Lösung 2) mit der Signatur 50·1, 50·2/1, 5·10. Sie enthält 5460 Ovale der Ordnung 2. Lösung 2 (dual zur Lösung 1) mit der Signatur 50·1, 50·2/3, 5·10. Sie enthält 5460 Ovale der Ordnung 2. Lösung 3 (dual zur Lösung 4) mit der Signatur 100·2, 5·20. Sie enthält 5460 Ovale der Ordnung 2. Lösung 4 (dual zur Lösung 3) mit der Signatur 50·3, 5·10, 50·24. Sie enthält 5460 Ovale der Ordnung 2.

Liste der Blöcke Hier sind alle Blöcke dieses Blockplans aufgelistet; zum Verständnis dieser Liste siehe diese Veranschaulichung Lösung 1 1 7 11 14 18 20 23 25 26 29 31 32 35 38 44 45 49 50 53 59 61 62 65 66 67 68 71 72 73 76 77 80 82 85 87 89 90 102 104 105 1 8 12 15 16 19 21 24 27 30 31 32 33 39 41 45 46 50 54 60 61 62 63 67 68 69 72 73 74 76 77 78 81 83 86 88 90 101 103 105 1 9 11 13 17 20 22 25 26 28 32 33 34 40 41 42 46 47 55 56 62 63 64 68 69 70 73 74 75 77 78 79 82 84 86 87 89 101 102 104 1 10 12 14 16 18 21 23 27 29 33 34 35 36 42 43 47 48 51 57 63 64 65 66 69 70 71 74 75 78 79 80 83 85 87 88 90 102 103 105 1 6 13 15 17 19 22 24 28 30 31 34 35 37 43 44 48 49 52 58 61 64 65 66 67 70 71 72 75 76 79 80 81 84 86 88 89 101 103 104 2 6 9 12 16 19 23 25 28 30 33 36 37 40 43 49 50 54 55 56 57 60 64 66 67 70 71 72 73 76 77 78 82 84 85 87 90 92 94 95 2 7 10 13 17 20 21 24 26 29 34 36 37 38 44 46 50 51 55 56 57 58 65 66 67 68 72 73 74 77 78 79 81 83 85 86 88 91 93 95 2 6 8 14 16 18 22 25 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