In der Mathematik ist die Weyl-Kammer (benannt nach Hermann Weyl) ein Begriff aus der Theorie der Lie-Gruppen. Weyl-Kammern werden bei der Definition positiver und einfacher Wurzeln benötigt, außerdem spielen sie eine zentrale Rolle in der Theorie der Gebäude.
Definition Sei eine endlichdimensionale halbeinfache Lie-Algebra, eine Cartan-Unteralgebra und das zugehörige Wurzelsystem.
Für eine Wurzel bezeichne
die zugehörige Hyperebene in .
Dann heißen die Zusammenhangskomponenten von
die Weyl-Kammern des Wurzelsystems.
Wirkung der Weyl-Gruppe Die Weyl-Gruppe von wirkt auf und permutiert die Menge der Weyl-Kammern, d. h., die Wirkung der Weyl-Gruppe auf der Menge der Weyl-Kammern ist einfach transitiv und die Anzahl der Weyl-Kammern ist die Kardinalität der Weyl-Gruppe.
Der Abschluss einer Weyl-Kammer ist ein Fundamentalbereich für die Wirkung der Weyl-Gruppe auf .
Weyl-Kammern in symmetrischen Räumen Es sei ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ. Dann sind alle enthaltenden Flachs von der Form
für eine abelsche Unteralgebra . (Hier ist die Exponentialabbildung in und die Cartan-Zerlegung.)
Insbesondere lässt sich der Begriff der Weyl-Kammern auf Flachs in symmetrischen Räumen übertragen: Weyl-Kammern in sind (per Definition) die Bilder der Weyl-Kammern in unter der Exponentialabbildung.
Beispiel mini|Wurzelsystem A2
Es sei
und . Das zugehörige Wurzelsystem besteht aus den sechs Wurzeln
, entsprechend
. Die sind drei Geraden im zweidimensionalen Vektorraum , sie zerlegen in sechs Weyl-Kammern.
Die Weyl-Gruppe ist in diesem Fall die symmetrische Gruppe , sie permutiert die sechs Weyl-Kammern.
Literatur Armand Borel: Linear algebraic groups. W. A. Benjamin, New York / Amsterdam 1969 Alexander Kirillov Jr.: An introduction to Lie groups and Lie algebras. In: Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 113. Cambridge University Press, Cambridge 2008, ISBN 978-0-521-88969-8 Ira Gessel, Doron Zeilberger: Random walk in a Weyl chamber.
Weblinks John Dusel: Root Systems. (PDF) Raphaël Rouquier: Weyl groups, affine Weyl groups and reflection groups (PDF; 136 kB) Allen Knutson: Weyl groups and Weyl chambers Weyl Chamber. Planet Math
Kategorie:Theorie der Lie-Gruppen Kategorie:Theorie der Lie-Algebren
en:Weyl group#Weyl chambers fr:Groupe de Weyl#Les chambres de Weyl