mini|Langevin-Funktion
Die Langevin-Funktion (nach dem Physiker Paul Langevin (1872–1946)) ist eine mathematische Funktion, die zur Berechnung von Orientierungspolarisation, Polarisation, Magnetisierung und Widerstand verwendet wird.
Definition Die Langevin-Funktion ist definiert durch , wobei den Kotangens hyperbolicus bezeichnet.
Eine Anwendung Die bekannteste Anwendung ist die halbklassische Beschreibung eines Paramagneten in einem äußeren Magnetfeld. Dazu wird der Langevin-Parameter eingeführt:
Die einzelnen Formelzeichen stehen für folgende Größen: : Magnetisches Moment eines Teilchens : Betrag der magnetischen Flussdichte des angelegten äußeren Magnetfeldes : Boltzmann-Konstante : Absolute Temperatur
Für die Magnetisierung eines Paramagneten ergibt sich dann:
steht dabei für die Stoffmenge und für das magnetische Moment der einzelnen Spins des Paramagneten. Eine weitere, quantenmechanische Beschreibung des Paramagnetismus ist durch die Brillouin-Funktion gegeben.
Reihenentwicklungen Für alle reellen Werte x konvergent ist diese Summenreihe:
Beispielsweise gilt für die diskrete Cauchy-Verteilung jene Summenreihe:
Somit ist die unendliche Summe der Kehrwerte von den Nachfolgern der Quadratzahlen elementar.
Und folgender Grenzwert gilt:
Dieser Wert ist beim sogenannten Basler Problem die Lösung.
Die Maclaurinsche Reihe lautet wie folgt:
Der Konvergenzradius dieser Reihe ist die Kreiszahl π.
Und für das Quadrat der Langevin-Funktion gilt:
Der griechische Buchstabe Zeta stellt die Riemannsche Zetafunktion dar.
Eine Näherung der Langevin-Funktion für ist
.
Für gilt die Näherung
.
Umkehrfunktion Da die Langevin-Funktion keine geschlossen darstellbare Umkehrfunktion hat, gibt es verschiedene Näherungen. Die invertierte Langevin-Funktion wird mit einer Minus-Eins von Spitzklammern umkleidet in Exponentenstellung hinter dem L dargestellt. Diese Umkehrfunktion ist ähnlich wie die Lambertsche W-Funktion nicht elementar darstellbar.
Eine verbreitete Näherung, die im Intervall gilt, wurde von A. Cohen veröffentlicht:
Der größte relative Fehler dieser Näherung ist 4,9 % um . Es existieren weitere Näherungen, die weitaus kleinere relative Fehler haben.
Die Maclaurinsche Reihe der invertierten Langevin-Funktion lautet wie folgtLaurence A. Belfiore: Physical Properties of Macromolecules. John Wiley & Sons, 2010, ISBN 0-470-55158-5, S. 277 () und hat den Konvergenzradius 1:
Siehe auch Langevin-Gleichung Brillouin-Funktion
Einzelnachweise
Kategorie:Mathematische Funktion Kategorie:Statistische Physik