In der hyperbolischen Geometrie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Jørgensen-Ungleichung eine notwendige Bedingung für die Diskretheit von Gruppen von Isometrien des 3-dimensionalen hyperbolischen Raumes . Sie geht auf Troels Jørgensen zurück.
Ungleichung Es sei eine von zwei Matrizen erzeugte nicht-elementare Kleinsche Gruppe, dann gilt die Ungleichung , wobei die Spur einer Matrix und den Kommutator zweier Matrizen bezeichnet.
Anschaulich sagt die Bedingung, dass zwei Elemente, die eine nicht-elementare diskrete Gruppe erzeugen, nicht zu nahe an der Identität sein können.
Gleichheit Die einzige hyperbolische 3-Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe von 2 Elementen mit erzeugt wird, ist das Komplement des Achterknotens.Callahan: Jørgensen number and arithmeticity. Conform. Geom. Dyn., 13 (2009), 160–186.
Die einzigen diskreten Untergruppen von , die von 2 Elementen mit erzeugt werden, sind die Hyperbolische Dreiecksgruppen der Signatur mit .T. Jørgensen, M. Kiikka: Some extreme discrete groups. Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math., 1(2):245–248, 1975.
Weiterhin gibt es zu jedem eine diskrete Gruppe mit .Y. Yamashita, R. Yamazaki: The realization problem for Jørgensen numbers. Conform. Geom. Dyn., 23 (2019), 17–31.
Anwendungen Die Jørgensen-Ungleichung wird in zahlreichen Konvergenzbeweisen in der Theorie der Kleinschen Gruppen verwendet. Jørgensens ursprüngliche Anwendung war der Beweis des folgenden Konvergenzsatzes: Sei eine nicht-elementare Kleinsche Gruppe und eine Folge von Isomorphismen von , die gegen einen Homomorphismus konvergiert, dann ist eine Kleinsche Gruppe und ist ein Isomorphismus. Falls parabolisch ist, erhält man das klassische Resultat über die Existenz präzis invarianter Horosphären. Es gibt zahlreiche Verallgemeinerungen der Jørgensen-Ungleichung auf diskrete Gruppen von Isometrien anderer metrischer Räume.
Literatur Jørgensen, Troels: On discrete groups of Möbius transformations. Amer. J. Math. 98 (1976), no. 3, 739–749. pdf Matsuzaki, Katsuhiko; Taniguchi, Masahiko: Hyperbolic manifolds and Kleinian groups. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1998. ISBN 0-19-850062-9 (Kapitel 2.2) Einzelnachweise
Kategorie:Gruppentheorie Kategorie:Ungleichung