mini|Farey-Graph In der Mathematik ist der Farey-Graph ein unendlicher Graph, der zahlreiche Anwendungen in der Zahlentheorie und anderen Gebieten der Mathematik besitzt.
Definition
Die Knotenmenge des Farey-Graphen ist , also die Menge aller Paare , wobei als aufgefasst wird.
Zwei Knoten und sind genau dann durch eine Kante verbunden, wenn
gilt.The boundary of the Gieseking tree in hyperbolic 3-space, Kapitel 3
Anwendungen Farey-Folgen werden durch Farey-Diagramme beschrieben, der Farey-Graph ist die Vereinigung aller Farey-Diagramme. In der Theorie der Kettenbrüche wird der Farey-Graph verwendet, um zu beweisen, dass jeder periodische Kettenbruch eine quadratische Irrationalzahl ist. Die Modulgruppe und ihr Quotient wirken durch gebrochen-lineare Transformationen auf und bilden dabei adjazente Knoten des Farey-Graphen wieder auf adjazente Knoten ab. Die Einbettung des Farey-Graphen in die Kompaktifizierung der hyperbolischen Ebene mittels der Identifizierung und Realisierung der Kanten als Geodäten gibt die Farey-Tesselation der hyperbolischen Ebene. Die Coxeter-Gruppe (d. h. die Spiegelungsgruppe eines idealen Dreiecks) wirkt auf dem Fareygraphen durch , jedes der Dreiecke der Farey-Tesselation ist ein Fundamentalbereich der Wirkung von auf der hyperbolischen Ebene. Der Kurvenkomplex des punktierten Torus ist der Farey-Graph, die Wirkung der Abbildungsklassengruppe auf dem Kurvenkomplex ist die Wirkung von auf dem Farey-Graphen.The train track complex of the once punctured torus and the four punctured sphere
Weblinks
The Farey diagram (PDF; 675 kB) Distance formula in Farey graph
Einzelnachweise
Kategorie:Graph Kategorie:Graphentheorie