In der Mathematik, insbesondere in Differentialgeometrie und Topologie sind straffe Blätterungen (engl.: taut foliations) Blätterungen, die sich durch Minimalflächen einer geeigneten Riemannschen Metrik realisieren lassen.
Definition Sei eine Mannigfaltigkeit. Eine Blätterung der Kodimension 1 heißt straff, wenn es zu jedem Blatt eine Abbildung gibt, deren Bild transversal schneidet.
Realisierbarkeit durch Minimalflächen Sei eine geschlossene, orientierte, differenzierbare Mannigfaltigkeit. Nach einem Satz von Rummler und SullivanSullivan, Dennis A homological characterization of foliations consisting of minimal surfaces. Comment. Math. Helv. 54 (1979), no. 2, 218–223, doi:10.1007/BF02566269. sind die folgenden Bedingungen an eine transversal orientierbare Kodimension 1-Blätterung äquivalent: ist straff es gibt einen zu transversalen Fluss, der eine Volumenform invariant lässt es gibt eine Riemannsche Metrik auf , in der die Blätter von Flächen kleinster Fläche sind.
Blätterungen ohne Reebkomponenten Wenn eine Blätterung straff ist, kann es keine Reeb-Komponente, d. h. keine Teilmenge diffeomorph zu einer Reeb-Blätterung, geben. Für atoroidale 3-Mannigfaltigkeiten gilt auch die Umkehrung: jede Blätterung ohne Reeb-Komponenten ist straff.
Straffe Blätterungen von 3-Mannigfaltigkeiten Für straffe Blätterungen von 3-Mannigfaltigkeiten gibt es eine gut ausgearbeitete Strukturtheorie. Zunächst können nach dem Satz von Novikov-Zieschang auf einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit straffe Blätterungen nur dann existieren, wenn oder , und es müssen dann notwendigerweise alle Blätter inkompressibel sein.Novikov, S. P.: Топология слоений. Тр. Моск. мат. о-ва. 14 1965. 248—278. Eine hinreichende Bedingung für die Existenz straffer Blätterungen liefert der Satz von Gabai: Sei M eine geschlossene, irreduzible 3-Mannigfaltigkeit mit , dann gibt es auf M eine straffe Blätterung. Man kann sogar jedes nichttriviale Element von als Blatt einer straffen Blätterung realisieren.Gabai, David: Foliations and the topology of 3-manifolds. J. Differential Geom. 18 (1983), no. 3, 445–503. online (pdf) Gabais Beweis benutzt genarbte Mannigfaltigkeitshierarchien.
Einen Zugang zur Struktur straffer Blätterungen auf 3-Mannigfaltigkeiten liefert der Satz von Palmeira: Wenn es auf einer geschlossenen, orientierbaren 3-Mannigfaltigkeit eine straffe Blätterung gibt, dann ist die universelle Überlagerung diffeomorph zum und die hochgehobene Blätterung ist eine Blätterung des durch Blätter diffeomorph zum .Palmeira, Carlos Frederico Borges: Open manifolds foliated by planes. Ann. Math. (2) 107 (1978), no. 1, 109–131. online (pdf) Der Raum der Blätter (der hochgehobenen Blätterung) ist in diesem Fall eine (i.a. nicht-Hausdorffsche) 1-Mannigfaltigkeit und die straffe Blätterung wird also beschrieben durch eine Wirkung von auf einer 1-Mannigfaltigkeit.
L-Räume haben keine straffen Blätterungen.
Weblinks Manifold Atlas Kazez-Roberts: Taut foliations
Belege
Kategorie:Differentialtopologie Kategorie:Topologie von 3-Mannigfaltigkeiten Kategorie:Blätterungen und Laminierungen