mini|250px|Perspektivische Grafik der numerischen Lösung einer partiellen DGL in 2D nach der FDM in Zylinderkoordinaten für ein physikalisches ProblemModell eines Kernreaktors, berechnet mit dem Programm MCT (), Ergebnisse als Grafik dargestellt mit dem Tabellenkalkulationsprogramm Microsoft Excel 2013, und zwar mit der Diagramm-Option 3D-Säulen.

Finite-Differenzen-Methode (FDM), auch Finite-Differenzen-Verfahren, Methoden/Verfahren der endlichen Differenzen oder schlicht Differenzenverfahren, sind eine Klasse numerischer Verfahren zur Lösung partieller Differentialgleichungen (DGL).

Die grundlegende Idee des Verfahrens ist es, die Orts oder Zeitableitungen in der Differentialgleichung in einem vorgegebenen Intervall der unabhängigen Variablen an Gitterpunkten in diesem Intervall durch Differenzenquotienten zu approximieren. Diese Approximationen der Differenzialgleichung in den Gitterpunkten stellen dann ein zu lösendes Gleichungssystem dar.

Die erste Abbildung zeigt die numerische Lösung einer partiellen DGL in 2D nach der FDM in einem krummlinigen -Koordinatensystem (Zylinderkoordinaten) mit 21 Gitterpunkten (20 Intervallen) in der r-Richtung und 11 Gitterpunkten (10 Intervalle) in der z-Richtung. Der diskretisierte Körper ist ein Zylinder mit einer Höhe von 100 cm und mit einem Radius von 200 cm. Es handelt sich eigentlich um einen (realen) 3D-Zylinder, der Besonderheiten besitzt. Die in die Berechnung eingehende Materialverteilung im Zylinder kann sich in Prinzip von Zelle zu ZelleEine Zelle ist hier in 2D eine von vier benachbarten Gitterpunkten festgelegte Fläche, in 3D ein von acht benachbarten Gitterpunkten festgelegter Raumbereich. ändern. In dem vorliegenden Modell hängt jedoch die Materialverteilung nicht von der polaren Koordinate, der -Koordinate, ab. Diese Eigenschaft muss prinzipiell auch jede physikalische Lösungsfunktion besitzen, die eine Observable ist.

Somit wird das Problem zu einem mathematischen 2D-, einem -Problem. Da die Materialverteilung außerdem in z-Richtung eine Spiegelsymmetrieebene besitzt, wurde für als eine der Randbedingungen der Wert für den Gradienten vorgegeben und damit die Hälfte der Gitterpunkte eingespart. Der Zylinder ist also eigentlich 200 cm hoch. Als weitere Randbedingung wurde vorgegeben, dass die gesuchte Lösung an den Außenrändern verschwinden soll. Dass die Näherungslösung dem gehorcht, ist auf der Grafik zu erkennen. Es handelt sich bei diesem Zylindermodell um ein zwar einfaches, aber reales physikalisches Problem aus der Neutronendiffusionstheorie für ein spezielles Kernreaktormodell eines BN-Reaktors. Dargestellt wird der schnelle Neutronenfluss.

In den Jahren von 1950 bis 1980 dominierte die FDM in den numerischen Programmen der Reaktorphysik zur Berechnung des Neutronenflusses. Verfahren dieser Art finden verbreitete Anwendung unter anderem bei fluiddynamischen Simulationen, zum Beispiel in der Meteorologie und der Astrophysik. Eine gewisse Verbreitung findet das Differenzenverfahren in der Baustatik. Schon 1904 analysierte Friedrich Bleich den Durchlaufträger; 1909 untersuchte Lewis Fry Richardson elastische Scheiben und 1919 Henri Marcus elastische Platten mit dem Differenzenverfahren.

Zu den Pionieren des Finite-Differenzen-Verfahrens für partielle Differentialgleichungen zählen Lewis Fry Richardson, Richard Southwell, Richard Courant, Kurt Friedrichs, Hans Lewy, Peter Lax und John von Neumann.

Geschichte des Namens In keinem deutsch- oder englischsprachigen Lehrbuch bis etwa zum Jahr 1980 wird man die Termini Finite-Differenzen-Methode bzw. finden. Zum Beispiel fehlt dieses Stichwort im Lexikon Mathematik von 1977, wo aber der Differenzenquotient enthalten ist. Man sprach in der englischsprachigen Fachliteratur schon früher von , oder , in der deutschsprachigen von Differenzenrechnungen, Differenzengleichungen und Diskretisierungsschemata. In der deutschsprachigen Fachliteratur tauchten Formen des englischen Adjektivs (begrenzt, endlich) in diesem Zusammenhang nicht auf. Streng genommen ist der Wortbestandteil finit überflüssig, denn Differenzen sind immer endlich. Sie sind das Gegenstück zum Differential, das einen unendlich kleinen Abschnitt auf der Achse eines Koordinatensystems beschreibt. Auch handelt es sich nicht um eine spezielle Methode, sondern umfasst eine Vielzahl von Verfahren.

tritt erst in den 1980er Jahren auf, und zwar nach dem „Siegeszug“ der . Um 1960 wurde der Name für eine verwandte Methode eingeführt und mit Finite-Elemente-Methode eingedeutscht. Die wahrscheinlich erste Verwendung des Begriffs findet sich 1960 in einem Zeitschriftenaufsatz von Ray W. Clough, einem Professor für Baustatik. Diese Begriffe verbreiteten sich in den 1970er Jahren schnell.Finite element method. In: Books Ngram Viewer. Abgerufen am 15. November 2022. Erst deutlich später muss den Mathematikern, Physikern und Ingenieuren aufgefallen sein, dass für die klassischen Diskretisierungsverfahren kein „griffiger“ Name existiert. Sie fanden, angelehnt an den Namen , dass der Name recht passend sei. Ein Standardlehrbuch zu dieser Materie zeigt den Entwicklungsgang: Es trug 1965 noch den Titel Numerical solution of partial differential equations: With exercises and worked solutions. Die Monographie wurde 1970 ins Deutsche übertragen. Eine spätere, erweiterte Auflage der englischen Version hatte 1985 das dann schon im Untertitel. Diese Auflage wurde wahrscheinlich nicht ins Deutsche übersetzt, so dass der Nachweis eines ersten Auftretens von Finite-Differenzen-Methode so nicht erbracht werden kann.

Es dauerte noch eine Weile, bis in Finite-Differenzen-Methode eingedeutscht wurde. Man beachte einen kleinen Unterschied. Hätte man den englischen Namen direkt eingedeutscht, müsste es eigentlich Finite-Differenz-Methode heißen. In den 1970er, 1980er Jahren scheint die Beschäftigung mit numerischen Methoden, zumindest in den beiden deutschen Staaten, für Mathematiker kein attraktives Betätigungsfeld gewesen zu sein, wie man durch Recherchen in den Katalogen der deutschsprachigen Bibliotheksverbünde nach entsprechenden Fachbüchern nachweisen kann. Die Anwendung und Weiterentwicklung der Differenzenrechnung verlagerte sich auf Physiker und Ingenieure. Wer sich damit beschäftigte, bezog seine Fachliteratur ohnehin aus der englisch- und russischsprachigen Fachliteratur. In der russischsprachigen verwendet man heute , also Methode der endlichen Differenzen. Eine Recherche in den Katalogen der deutschsprachigen Bibliotheksverbünde ergab, dass wahrscheinlich das erste Fachbuch in deutscher Sprache mit Finite-Differenzen-Methode im Titel im Jahr 1987 erschienen ist, das von Ingenieuren und nicht von Mathematikern verfasst wurde. Es wird im Katalog der deutschen Nationalbibliothek nach den Sachgruppen Bergbau, Bautechnik, Umwelttechnik klassifiziertFinite-Differenzen-Methode / [Hrsg.: Informationszentrum Raum u. Bau. d. Fraunhofer-Ges. (IRB). Red. Bearb.: Manfred Teige], Belegexemplar bei der Deutschen Nationalbibliothek. und ist in vier Auflagen erschienen.

Der Name klassisches Differenzenverfahren wäre sicher treffender gewesen. Klassisch deshalb, weil die Methodik bereits seit Anfang des 19. Jahrhunderts bekannt ist, nachdem Augustin-Louis Cauchy der Differentialrechnung die heute übliche logische Strenge gegeben hatte. Er ging von den infinitesimalen Größen ab und definierte die Ableitung als Grenzwert von Sekantensteigungen.Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis, Springer, S. 506–514. Bereits Leibniz hatte das Wort Differentialquotient eingeführt, das den Grenzwert eines Differenzenquotienten benannte. Richtig Fahrt nahm die Anwendung der Differenzenverfahren erst mit dem Einzug von Großrechnern in Forschungseinrichtungen auf. Das war Mitte der 1950er Jahre, als komplizierte Differentialgleichungen numerisch gelöst wurden. Motor der Differenzenrechnung und der Entwicklung iterativer Methoden zur Lösung der dabei entstehenden großen linearen Gleichungssysteme war die Reaktorphysik, insbesondere die Neutronendiffusionstheorie.

Aus heutiger Sicht ist der Name Finite-Differenzen-Methode dennoch nicht so übel, denn es ist immer hilfreich, wenn sich Fachausdrücke in unterschiedlichen Sprachen ähneln. Zusammengefasst: Die Finite-Differenzen-Methode, die Finite-Elemente-Methode wie auch die Finite-Volumen-Verfahren sind Teilgebiete der Differenzenrechnung, der diskreten Entsprechung der Differentialrechnung.

FDM einer gewöhnlichen DGL 2. Ordnung Wir suchen die Lösung einer Differentialgleichung 2. OrdnungDie höchste vorkommende Ableitungsordnung wird Ordnung der Differentialgleichung genannt. in einer Dimension (1D) in einem geradlinigen Koordinatensystem . Zu berechnen sei die Funktion im Intervall der unabhängigen Variablen , . Die sogenannte Inhomogenität sei gegeben. Ohne weitere Bedingungen ist nicht eindeutig bestimmt. Erst mit zwei Anfangs- oder Randbedingungen erhält man Eindeutigkeit. Nur im Fall von Randbedingungen favorisiert man zur numerischen Lösung finite Differenzen.

Das Vorgehen der numerischen Lösung nach der Differenzenmethode besteht darin, aus der Differentialgleichung ein Differenzengleichungssystem zu erzeugen und dieses zu lösen. Dazu hat der Anwender im ersten Schritt auf der -Achse Stützpunkte (Gitterpunkte) zu wählen, über deren Lage er frei verfügen kann.

Äquidistante Stützstellen mini|Die FDM beruht auf der Diskretisierung einer Funktion auf einem Gitter, hier der Funktion einer unabhängigen Variablen mit äquidistanten Stützstellen

Wählt er ein äquidistantes Gitter, so muss er sich entscheiden, mit wie vielen Stützpunkten er starten möchte. Wählt er als Anzahl der „inneren“ Stützpunkte , so sind die Anzahl der Intervalle und die Anzahl der Stützstellen insgesamt. Dann sind die Gitterschrittweite (Maschenweite, Intervallbreite) und die Abszissenwerte der Stützpunkte für .

mini |Drei-Punkte-Stützstellenschema () für zentrale Differenzen in 1D mit äquidistanten Stützstellen

Im zweiten Schritt hat der Anwender eine Näherung für die zweite Ableitung zu wählen. Die entsprechenden Formeln kann er zum Beispiel aus dem Artikel Koeffizienten für Differenzenquotienten entnehmen. Die kleinst mögliche (und meist auch zu empfehlende) Anzahl von Gitterpunkten für eine Näherung der zweiten Ableitung ist drei. Für Stützstellen, die nicht auf dem Enden des Intervalls oder liegen, für die inneren Stützstellen, ist der zentrale Differenzenquotient die passende Wahl:

In der Grafik ist die rote die vorgegebene Stützstelle, die beiden Nachbarn sind die blauen Punkte.

Für die inneren Stützstellen folgen daraus die Differenzengleichungen

  für  

für die unbekannten numerischen Näherungswerte von und mit den vorgegebenen Werten , den Werten der Inhomogenität an den Stützstellen .

Die Gesamtheit der Differenzengleichungen für innere Stützstellen bilden ein lineares Gleichungssystem der Ordnung für die unbekannten Funktionswerte von .

Randwertproblem für äquidistante Stützstellen Sind die Funktionswerte und vorgegeben, haben wir es mit einem Randwertproblem zu tun. Dann ist eindeutig bestimmt.

Die beiden „Ränder“ sind die erste und die letzte Stützstelle, die das vorgegebene -Intervall links und rechts begrenzen. Randwertprobleme nennt man in der Mathematik die wichtige Klasse von Problemstellungen, bei denen zu einer vorgegebenen Differentialgleichung Lösungen gesucht werden, die auf dem Rand des Definitionsbereiches vorgegebene Funktionswerte, die Randbedingungen, annehmen sollen.

Die erste Differenzengleichung wird mit den Randwerten dann zu

oder ,

und die letzte oder .

In Matrixform lautet das zu lösende System, wenn wir beide Seiten aller Differenzengleichungen mit dem Faktor multiplizieren, dann:

Die Matrix heißt Koeffizientenmatrix und ist vom Rang . Sie ist regulär und somit ist das erzeugte