In der Algebraischen Topologie, einem Teilgebiet der Mathematik, ist die Bockstein-Folge ein Hilfsmittel zum Vergleich von Kohomologiegruppen mit unterschiedlichen Koeffizienten, sie ist nach Meir Bockstein benannt.
Konstruktion
Homologie
Sei
eine kurze exakte Sequenz abelscher Gruppen und ein topologischer Raum. Aus der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen
erhält man mittels des Schlangenlemmas eine lange exakte Sequenz von Homologiegruppen , die sogenannte Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz. Der verbindende Homomorphismus heißt Bockstein-Homomorphismus.
Kohomologie
liefert auch eine kurze exakte Sequenz von Kokettenkomplexen
und wieder mit dem Schlangenlemma eine lange exakte Sequenz von Kohomologiegruppen , die ebenfalls als Bockstein-Folge oder Bockstein-Sequenz bezeichnet wird und der verbindende Homomorphismus als Bockstein-Homomorphismus.
Beispiele
Die kurze exakte Sequenz gibt die Bockstein-Homomorphismen und . Der zur kurzen exakten Sequenz assoziierte Bockstein-Homomorphismus
ist von Bedeutung für die Konstruktion der Steenrod-Algebra. Die zu den kurzen exakten Sequenzen und assoziierten Bockstein-Homomorphismen und sind von Bedeutung in der Konstruktion sekundärer charakteristischer Klassen und in der Deligne-Kohomologie.
Literatur Bockstein, M. (1942). Universal systems of ∇-homology rings. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 37: 243–245. MR0008701. Bockstein, M. (1943). A complete system of fields of coefficients for the ∇-homological dimension. 《C. R. (Doklady) Acad. Sci. URSS (N.S.)》 38: 187–189. MR0009115. Bockstein, M. (1958). Sur la formule des coefficients universels pour les groupes d'homologie. 《Comptes Rendus de l'Académie des Sciences. Série I. Mathématique》 247: 396–398. MR0103918.
Kategorie:Algebraische Topologie