In der Mathematik sind Nielsen-Transformationen ein wichtiges Hilfsmittel der kombinatorischen Gruppentheorie, sie sind nach dem Mathematiker Jakob Nielsen benannt.
Definition
Sei eine Gruppe und ein geordnetes n-Tupel von Elementen aus . Eine elementare Nielsen-Transformation ist eine der folgenden drei Typen von Ersetzungen: Für ein ersetze durch . Für zwei vertausche und . Für zwei ersetze durch . Eine Nielsen-Transformation ist eine Folge endlich vieler elementarer Nielsen-Transformationen. Zwei geordnete Tupel heißen Nielsen-äquivalent, wenn sie durch eine Nielsen-Transformation auseinander hervorgehen.
Anwendungen
Erzeugendensysteme freier Gruppen
Sei die freie Gruppe mit Erzeugern . Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem Elemente und ein -Tupel ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn die geordneten Tupel und Nielsen-äquivalent sind.Jakob Nielsen: Über die Isomorphismen unendlicher Gruppen ohne Relation. Math. Ann. 79 (1918), no.3, 269-272. Jakob Nielsen: Om regning med ikke-kommutative faktorer og dens anvendelse i gruppeteorien. Math. Tidsskrift B (1921), 78-94.
Erzeugendensysteme von Flächengruppen
Sei die Flächengruppe vom Geschlecht . Dann hat jedes minimale Erzeugendensystem Elemente und ein -Tupel ist genau dann ein Erzeugendensystem von , wenn die geordneten Tupel und Nielsen-äquivalent sind.Heiner Zieschang: Über die Nielsensche Kürzungsmethode in freien Produkten mit Amalgam. Invent. Math. 10 (1970), 4-37.
Literatur
Kategorie:Kombinatorische Gruppentheorie