In der Mathematik ist die Weil-Algebra (ursprünglich von Henri Cartan eingeführt und nach André Weil benannt) ein Hilfsmittel bei der Berechnung charakteristischer Klassen.
Definition Es sei eine Lie-Algebra. Die Weil-Algebra ist die graduierte Algebra , wobei der duale Vektorraum, die Polynomalgebra und die Graßmann-Algebra ist. Explizite Definition des Differentials Sei eine Basis von . Seien die Strukturkonstanten, also . Die Weil-Algebra hat Erzeuger vom Grad 1 und vom Grad 2. Dann ist das Differential definiert durch
. Die Kohomologie von ist trivial (außer in Grad 0).
Konstruktion charakteristischer Klassen Ein Zusammenhang auf einem -Prinzipalbündel induziert einen Homomorphismus , der sich zu einem Homomorphismus differentieller graduierter Algebren
fortsetzen lässt.Theorem 5.18 in: J.I. Burgos Gil: "The regulators of Beilinson and Borel." CRM Monograph Series, 15. American Mathematical Society, Providence, RI, 2002. ISBN 0-8218-2630-1 Die -invarianten Elemente von werden auf (das Urbild von) abgebildet und definieren charakteristische Klassen in . (Diese Konstruktion wird als Chern-Weil-Homomorphismus bezeichnet.)
Relative Weil-Algebra Sei eine Lie-Gruppe und eine maximal kompakte Untergruppe mit Lie-Algebra . Die relative Weil-Algebra ist definiert als . Sei der klassifizierende Raum und das universelle Bündel der Lie-Gruppe . Man hat kanonische Isomorphismen der Kohomologiegruppen
mit dem Ring der invarianten Polynome.
Die relative Weil-Algebra wird bei der Berechnung sekundärer charakteristischer Klassen von lokal symmetrischen Räumen verwendet.
Literatur W. Greub, S. Halperin, R. Vanstone, "Connections, curvature, and cohomology. Volume III: Cohomology of principal bundles and homogeneous spaces." Pure and Applied Mathematics, Vol. 47-III. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1976 (Chapter VI). H. Cartan, "Cohomologie réelle d'un espace fibré principal differentiable", Sem. H. Cartan 1949/50, Exp. 19–20 (1950). H. Cartan, "Notions d’algébre différentielle; application aux groupes de Lie et aux variétés ou opère un groupe de Lie", Colloque de topologie (espaces fibrés), Bruxelles, (1950), pp. 15–27. J.L. Dupont, F.W. Kamber, "On a generalization of Cheeger–Chern–Simons classes" Illinois J. Math. 34 (1990), no. 2, 221–255. F.W. Kamber, Ph. Tondeur, "Foliated bundles and characteristic classes", Lecture Notes in Mathematics, 493, Springer (1975). F.W. Kamber, Ph. Tondeur, "Semi-simplicial Weil algebras and characteristic classes" Tôhoku Math. J. 30 (1978) pp. 373–422 (pdf). J.L. Dupont, F.W. Kamber, "Cheeger-Chern-Simons classes of transversally symmetric foliations: dependence relations and eta-invariants." Math. Ann. 295 (1993), no. 3, 449–468, doi:10.1007/BF01444896.
Weblinks Weil Algebra of a Lie Algebra (Encyclopedia of Mathematics) Weil Algebra (nLab)
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie