Die transitive Hülle einer Menge (oft mit für transitive closure bezeichnet) ist die kleinste Obermenge von , die transitiv ist. Die Existenz und Eindeutigkeit lassen sich in ZF (das Auswahlaxiom ist dafür nicht notwendig) beweisen. Maßgeblich gehen dabei das Ersetzungsschema und Unendlichkeitsaxiom ein. Da die kleinste transitive Obermenge von ist, gilt genau dann, wenn transitiv ist.
Konstruktion Durch Induktion über lässt sich zeigen, dass für jede Menge eine Funktion sind ad-hoc-Bezeichnungen mit existiert, die
erfüllt. Das Ersetzungsschema sichert nun die Existenz der Menge
und aufgrund des VereinigungsaxiomsDas Vereinigungsaxiom wurde natürlich schon vorher zum Existenzbeweis der Funktion benötigt. existiert , welchem man schnell die von geforderten Eigenschaften nachweist. Es gilt also .
Bemerkungen Es wird hier eine iterierte Mengenvereinigung definiert, nämlich , speziell . Fasst man die Element-Relation als homogene Relation auf, dann steht auf der rechten Seite gerade die n-fache Verkettung von mit sich selbst, also deren n. Potenz (siehe Relation §Homogene Relationen: Potenzen). Damit kann weiter vereinfacht werden zu , sowie . Die transitive Hülle wird dann zu .Mit aufgefasst als homogene Relation und lässt sich die transitive Hülle auch noch verstehen als . Siehe z. B. G. O’Regan: für homogene Relationen , Using Replacement to prove transitive closure is a set without recursion, auf: StackExchange Mathematics, Stand: 2018
Anwendung In vielen Beweisen in der Mengenlehre braucht man für ein bestimmtes Argument die Transitivität einer Menge. Kann man zusätzlich zeigen, dass die Aussage für eine Menge gilt, wenn man eine Obermenge findet, für die sie gilt, so bietet es sich an, von zur transitiven Hülle überzugehen.
Eine ähnliche Vorgehensweise findet man zum Beispiel im Beweis des Epsilon-Induktions-Verfahren wieder.
Verallgemeinerung Sei eine Menge mit einer homogene Relation darauf. Die -transitive Hülle ist dann gegeben durch Wolfram Pohlers: Mengenlehre (PDF), Universität Münster, Institut für mathematische Logik und Grundlagenforschung, Vorlesungsskript, SS 1994, Seite 31. Die dort angegebene Definition ähnelt der hier unter Konstruktion angegebenen, und wurde aber in eine äquivalente, leichter lesbare überführt. Dies ist das Urbild von unter , der reflexiv-transitiven Hülle der Relation . ist die kleinste Obermenge von , die -transitiv ist. Im Fall repliziert die verallgemeinerte Definition den obigen Spezialfall.
Siehe auch Transitive Hülle (Relation)
Anmerkungen
Kategorie:Mengenlehre