In der Mathematik sind Abbildungstori topologische Räume, mit denen topologische Abbildungen beschrieben werden.
Definition mini|links|Das Möbiusband ist der Abbildungstorus der durch definierten Abbildung . mini|Die Kleinsche Flasche ist ein nichttriviales Bündel über S1 mit Faser S1 und Monodromie . Sei ein topologischer Raum und ein Homöomorphismus. Der Abbildungstorus von ist definiert als Quotient
von bzgl. der Äquivalenzrelation für alle .
Faserbündel über dem Kreis
Der Kreis kann als Quotientenraum mit aufgefasst werden, damit definiert die Projektion auf den zweiten Faktor ein Faserbündel . Umgekehrt ist jedes Faserbündel über dem Kreis als Abbildungstorus eines Homöomorphismus darstellbar. Die Abbildung wird als Monodromie des Faserbündels bezeichnet.
Abbildungstori in der 3-dimensionalen Topologie
Abbildungstori spielen eine wichtige Rolle in Thurstons Zugang zur Geometrisierung von 3-Mannigfaltigkeiten.
Homöomorphismen kompakter Flächen fallen in eine von drei Kategorien: periodisch, reduzibel oder pseudo-Anosov. Thurston hat bewiesen, dass ein 3-dimensionaler Abbildungstorus genau dann hyperbolisch ist, wenn die Monodromie pseudo-Anosov ist.Hyperbolic Structures on 3-manifolds, II: Surface groups and 3-manifolds which fiber over the circle
Ian Agol hat 2012 gezeigt, dass jede kompakte 3-Mannigfaltigkeit eine endliche Überlagerung besitzt, die sich als Abbildungstorus darstellen lässt.The virtual Haken conjecture Documenta Math. 18 (2013) 1045--1087
Gruppentheorie
In der Gruppentheorie definiert man Abbildungstori für Endomorphismen freier Gruppen. Sei die von einer Menge erzeugte freie Gruppe und ein Endomorphismus. Dann ist der Abbildungstorus definiert durch die Präsentierung .
Einzelnachweise
Kategorie:Topologischer Raum