Der Satz von Stinespring, benannt nach W. Forrest Stinespring, ist ein Satz aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis aus dem Jahre 1955.W. Stinespring: Positive functions on C*-algebras, Proceedings Amer. Math. Soc. (1955), Band 6, Seiten 211–216 Er besagt, dass vollständig positive Operatoren auf C*-Algebren im Wesentlichen Kompressionen von Hilbertraum-Darstellungen sind.
Formulierungen Es sei eine C*-Algebra mit Einselement und ein vollständig positiver Operator in die Algebra der stetigen, linearen Operatoren über einem Hilbertraum . Dann gibt es einen Hilbertraum , eine Hilbertraum-Darstellung und einen stetigen, linearen Operator , so dass für alle Insbesondere ist .N. P. Brown, N. Ozawa: C*-Algebras and Finite-Dimensional Approximations, American Mathematical Soc. (2008), Band 88, ISBN 0-8218-7250-8, Theorem 1.5.3
Gilt sogar , so kann man zusätzlich annehmen, dass und die Konstruktion so einrichten, dass für alle gilt, wobei die Orthogonalprojektion auf sei und für die Beschränkung auf den Unterraum stehe.K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Theorem IX.4.3
Hat die C*-Algebra kein Einselement, so kann man eines adjungieren und mit der Definition zu einem vollständig positiven Operator fortsetzenN. P. Brown, N. Ozawa: C*-Algebras and Finite-Dimensional Approximations, American Mathematical Soc. (2008), Band 88, ISBN 0-8218-7250-8, Satz 2.2.1 und darauf obigen Satz anwenden. Allerdings vergrößert sich dabei möglicherweise die Norm von .
Der Satz von Naimark Der Satz von Naimark aus dem Jahre 1943, benannt nach Mark Naimark, ist ein wichtiger Vorläufer des Satzes von Stinespring, er behandelt den Fall kommutativer C*-Algebren:
Es sei eine kommutative C*-Algebra mit Einselement und ein positiver Operator in die Algebra der stetigen, linearen Operatoren über einem Hilbertraum . Dann gibt es einen Hilbertraum , eine Hilbertraum-Darstellung und einen stetigen, linearen Operator , so dass für alle gilt, wobei die Orthogonalprojektion auf sei und für die Beschränkung auf den Unterraum stehe.K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Theorem IX.4.2
Dieser Satz ergibt sich leicht aus obiger zweiter Version des Satzes von Stinespring und der Tatsache, dass positive Operatoren auf kommutativen C*-Algebren automatisch vollständig positiv sind.K. R. Davidson: C*-Algebras by Example, American Mathematical Society (1996), ISBN 0-821-80599-1, Satz IX.4.1
Der Satz von Kasparow-Stinespring Die folgende Version des Satzes von Stinespring geht auf G. G. Kasparow zurück.G. G. Kasparow: Hilbert-C*-modules: theorems of Stinespring and Voiculescu, Journal Operator Theory (1980), Band 4, Seiten 133–150
Es seien eine separable und eine σ-unitale C*-Algebra. sei ein vollständig positiver Operator mit Norm in die stabile Multiplikatorenalgebra über . Dann gibt es einen *-Homomorphismus in die Algebra der -Matrizen über , so dass: für alle .
In diesem Fall kann man die Konstruktion also derart einrichten, dass die Kompression des *-Homomorphismus die obere, linke Ecke einer -Matrix ist.
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Stinespring, Satz von