Eine projektiv-metrische Geometrie ist eine mindestens zweidimensionale projektive Geometrie über einem Körper mit einer metrischen Zusatzstruktur. Durch diese zusätzliche Struktur kann man die „Orthogonalitätsrelation“ einer metrischen absoluten Geometrie in dem projektiven Raum beschreiben, in den sich die metrische absolute Geometrie einbetten lässt. Zugleich zeichnet diese Zusatzstruktur eine bestimmte Untergruppe in der Gruppe aller Projektivitäten des Raumes aus: Sie ist die Invarianz- oder Verträglichkeitsgruppe der Polarität bzw. Polarinvolution, durch die die Orthogonalität der nichteuklidischen bzw. euklidischen Geometrie im projektiven Raum dargestellt wird.

In zwei Hauptfällen der absoluten Geometrie, der elliptischen Geometrie und der euklidischen Geometrie bestimmt der projektive Raum zusammen mit der „polaren Struktur“ die eingebettete Geometrie eindeutig. Nur im Falle der elliptischen Geometrie stellt der projektive Raum selbst mit seiner projektiven Polarität ein Modell der absoluten Geometrie dar.

Die projektiv-metrische Geometrie ist im folgenden Sinn reichhaltiger als die metrische absolute Geometrie: Nicht zu jedem projektiv-metrischen Raum existiert eine absolute Geometrie.

Andererseits ist die projektiv-metrische Geometrie „vergesslich“: Für den hyperbolischen Hauptfall und alle Nebenfälle, z. B. die halbelliptischen Ebenen, lässt sich die ursprüngliche metrische Ebene im Allgemeinen nur dann nach der Einbettung bis auf Isomorphie eindeutig zurückgewinnen, wenn man neben der Invarianzgruppe, die durch die polare Struktur eindeutig bestimmt ist, auch noch ein bestimmtes Erzeugendensystem dieser Invarianzgruppe, das in der metrischen Ebene die senkrechten Achsenspiegelungen und die Geraden der Geometrie repräsentiert, fest hält.

Definitionen und Grundbegriffe im ebenen Fall Die Grundbegriffe werden hier zunächst für die Ebene dargestellt: Es sei ein Körper, und die projektive Ebene über , der zugehörige Koordinatenvektorraum. Die genannte Voraussetzung, dass die Charakteristik der betrachteten Körper nicht 2 ist, wird in diesem Zusammenhang (oft stillschweigend) gemacht, weil sonst Spiegelungen nicht sinnvoll definiert werden können.

Symmetrische Bilinearform und Polarinvolution/Polarität Auf dem Koordinatenvektorraum sei eine symmetrische Bilinearform gegeben. Diese lässt sich in durch eine symmetrische Matrix darstellen: .

Singulärer Fall: Hat die Matrix den Rang 2, so ist durch den Kern der linearen Abbildung das Radikal der symmetrischen Bilinearform gegeben, dies ist dann ein eindimensionaler Unterraum von . Nichteuklidischer, ordinärer Fall: Hat die Matrix den Vollrang 3, ist also regulär, dann beschreibt die lineare Abbildung die Punktabbildung einer projektiven Polarität auf .Die Formalitäten der linearen Algebra – Koordinatenvektoren sind hier als Spalten-, Ebenenkoordinaten von zweidimensionalen Unterräumen als Zeilenvektoren dargestellt und sind Objekte des Dualraums – sind hier nicht zentral wichtig, sollen aber berücksichtigt werden, um Missverständnissen vorzubeugen. Bachmann (1973) verwendet zur Koordinatisierung die Indexschreibweise, ohne Matrizen. Diese ist ebenso koordinatenabhängig wie die Matrixschreibweise, Bachmann (1973), §8.3 Projektiv-metrische Koordinatenebenen und metrische Vektorräume.

Für den singulären Fall 1 und vor allem für die höherdimensionalen Verallgemeinerungen dieses Falles ist es praktisch„Praktisch“ aber mathematisch nicht zwingend notwendig, Bachmann (1973), § 8.3, in allen Fällen die eindimensionalen Teilräume von als Geraden der projektiven Ebene zu verwenden und die zweidimensionalen Teilräume als projektive Punkte. Diese Konvention ist dual zu dem Vorgehen, das sonst meistens üblich ist. Damit ist das Radikal im singulären Fall eine durch die Bilinearform ausgezeichnete projektive Ferngerade .

Orthogonalität und Polarinvolution im singulären Fall Im singulären Fall unterscheidet man noch zwei Unterfälle:

Alle isotropen Vektoren sind im Radikal enthalten, formal: oder es existieren isotrope Vektoren, die nicht im Radikal enthalten sind.

Im ersten Fall nennt man die projektive Ebene mit der Bilinearform auf singulär-elliptisch im zweiten singulär-hyperbolisch. Nur im ersten Fall ist die Ebene eine projektiv-metrische Ebene. Man bezeichnet sie in diesem Fall als singuläre projektiv-metrische Ebene.

In beiden singulären Unterfällen gilt nun: Auf dem „Büschel“ der zweidimensionalen Teilräume von , die die Ferngerade enthalten (projektiv: der Punktmenge, die mit der Ferngeraden inzidiert), wird durch die Bilinearform eine involutorische Orthogonalitätsabbildung definiert, durch die jedem dieser Teilräume der zu ihm (im Sinn der Bilinearform) senkrechte zweidimensionale Teilraum zugeordnet wird. Damit ist, da sich diese Zuordnung in als lineare Abbildung von Koordinatenvektoren darstellen lässt, eine projektive Polarinvolution auf der projektiven Ferngeraden gegeben.Bachmann (1973) §8.3

Eindimensionale Teilräume des Vektorraums, die vom Radikal verschieden sind, spannen jeweils mit dem Radikal einen zweidimensionalen Unterraum auf. Im projektiven Raum heißt das: Projektive Geraden , die von der Ferngeraden verschieden sind, bestimmen je einen Fernpunkt auf . Solche projektiven Geraden heißen orthogonal, wenn diese zugehörigen zweidimensionalen Unterräume (projektiv: die Fernpunkte von ) durch die Polarinvolution aufeinander abgebildet werden. Im singulär-elliptischen Fall ist keine projektive Gerade außer der Ferngeraden zu sich selbst senkrecht.

Es wird vereinbart: Der Pol einer projektiven Geraden ist der gemeinsame Fernpunkt aller zu ihr senkrechten Geraden. Die Ferngerade besitzt keinen Pol, Polare werden im singulären Fall nicht definiert. Bachmann (1973), S. 90. In der Literatur werden auch Fernpunkte, die einander durch die Polarinvolution zugeordnet sind zueinander polar genannt, dies im Einklang damit, dass die projektive Polarinvolution als eine projektive Polarität auf der Ferngeraden angesehen werden kann.

Polarität in den ordinären Fällen Eine projektive Ebene mit einer Bilinearform auf , die durch eine symmetrische Matrix von Vollrang beschrieben wird, heißt ordinäre projektiv-metrische Ebene. Man unterscheidet analog zum singulären Fall zwei Unterfälle:

Nur der Nullvektor ist isotrop, formal: oder es existieren echt isotrope Vektoren.

Im ersten Unterfall heißt die projektiv-metrische Ebene elliptisch, im zweiten hyperbolisch. In beiden Unterfällen ist für jeden vom Nullvektor verschiedenen Vektor ein zweidimensionaler Unterraum, projektiv der Pol der durch dargestellten projektiven Geraden.

Im elliptischen Fall gibt es keine echt isotropen Vektoren: Kein projektiver Punkt inzidiert mit seiner Polaren . Im hyperbolischen Fall gilt für die echt isotropen Vektoren : Für diese Vektoren inzidiert der projektive Punkt mit seiner Polaren .

Eigentlich-orthogonale Gruppe und Achsenspiegelungen im Vektorraum Die Beschreibung der orthogonalen Gruppe und der Achsenspiegelungen ist von der projektiven Interpretation unabhängig. Der Vektorraum trägt durch die Bilinearform (die einem der drei oben beschriebenen Fälle singulär-elliptisch, elliptisch oder hyperbolisch entsprechen soll) eine Orthogonalitätsstruktur auf der Menge seiner Teilräume im üblichen Sinne der linearen Algebra.Bachmann (1973), §8.4 Projektiv-metrische Koordinatenebenen und metrische Vektorräume.

Eine bijektive lineare Abbildung heißt orthogonale Transformation, wenn sie mit der Bilinearform verträglich ist: Für alle muss dann gelten:

, in Matrixschreibweise: .

Die orthogonalen Transformationen bilden eine Gruppe, die orthogonale Gruppe . Die orthogonalen Transformationen mit Determinante 1 bilden eine Untergruppe vom Index 2, die eigentlich-orthogonale Gruppe . Proportionale Formen definieren die gleiche orthogonale Gruppe.

Für einen nicht-isotropen Vektor ist die lineare Transformation , die jeden zu proportionalen Vektor auf sich und jeden zu senkrechten Vektor auf seinen Gegenvektor abbildet, also mit

für und für

eine involutorische orthogonale Transformation. Sie lässt sich mit Hilfe der Bilinearform darstellen als

.

Man nennt sie die Achsenspiegelung an .

Die Gruppe wird von den Achsenspiegelungen erzeugt. Zur Darstellung eines beliebigen Gruppenelements sind höchstens drei Achsenspiegelungen nötig.Bachmann (1973), §9.1, Satz 2

Übersicht über die zusammengehörigen Begriffe der projektiv-metrischen Ebene und des Vektorraums mit Bilinearform :

Projektiv-metrische Ebene Vektorraum mit Bilinearform Gerade Eindimensionaler Teilraum Punkt Zweidimensionaler Teilraum mit der homogenen Gleichung , inzident orthogonal das heißt selbstorthogonal/isotrop isotrop das heißt Spiegelung (involutorische Perspektivität) mit der nicht selbst-orthogonalen Geraden als Achse und dem Pol von als Zentrum Spiegelung , für

Projektive Beschreibung der orthogonalen Gruppen und Achsenspiegelungen im ebenen Fall In allen drei Fällen, dem ordinär-elliptischen, ordinär-hyperbolischen und singulär-elliptischen Fall, bestimmt die Bilinearform zu jeder projektiven nicht-isotropen Gerade einen eindeutigen Pol, der nicht mit der Geraden inzidiert. Es wird definiert: Die Achsenspiegelung an der nicht-isotropen Gerade ist die eindeutig bestimmte involutorische Perspektivität, mit der Geraden als Achse und ihrem Pol als Zentrum. Nach Konstruktion ist das eine Projektivität.

Die Menge aller so definierten Achsenspiegelungen an nichtisotropen Geraden erzeugt eine Gruppe , die isomorph zu der oben im Vektorraum definierten eigentlich-orthogonalen Gruppe des jeweiligen Falls ist.Bachmann (1973), §9.1 Projektiv-metrische Geometrie Theoreme 4,5 und 6

Projektiv-metrische Ebenen in der Absoluten Geometrie

Jede metrische Ebene im Sinne der metrischen absoluten Geometrie bestimmt eine projektiv-metrische Idealebene, in die sie eingebettet werden kann. Diese projektiv-metrische Ebene wird dadurch eindeutig, dass durch einen eigentlichen Punkt der Idealebene (also einen Punkt, der bereits in der metrischen Ebene vorhanden war) nur eigentliche Geraden gehen. Mit anderen Worten ist die metrische Ebene eine lokalvollständige Teilebene der projektiv-metrischen Ebene. Dadurch erfüllt die projektiv-metrische Ebene zwei Aufgaben in der absoluten Geometrie:

Projektive Ebenen enthalten geometrisch mit den über ihrem Koordinatenvektorraum definierbaren symmetrischen Bilinearformen die metrischen Ebenen als lokalvollständige Teilebenen. Die Orthogonalität einer solchen Teilebene, als Relation zwischen deren Geraden, ist eindeutig bestimmt durch die ordinäre oder singulär-elliptische polare Struktur, die die Bilinearform auf der projektiven Ebene bestimmt, also deren „metrische Zusatzstruktur“. Die orthogonale Gruppe einer projektiv-metrischen Ebene enthält gruppentheoretisch die axiomatisch definierten Bewegungsgruppen als erzeugte Untergruppen und liefert damit eine Darstellung dieser Gruppen.

Unterschiedliche metrische Ebenen können die gleiche Idealebene besitzen. Folgende Zuordnung besteht zwischen den axiomatisch beschriebenen Bewegungsgruppen und ihrer projektiv-metrischen Idealebene:

Zusatzaxiome der metrischen Ebene Bezeichnung Idealebene Axiome und Präeuklidische Ebene (singuläre) projektiv-euklidische Ebene Axiome und metrisch-euklidische Ebene ohne eindeutige Parallele Axiom elliptische Ebene (ordinäre) projektiv-elliptische Ebene Axiome halbelliptische Ebene Axiome und hyperbolische Ebene (ordinäre) projektiv-hyperbolische Ebene