Metrische absolute Geometrie

Die metrische absolute Geometrie ist eine axiomatische Beschreibung der absoluten Geometrie, die ein gemeinsames Fundament für Modelle der euklidischen Geometrie und der nichteuklidischen Geometrie, konkret für elliptische Geometrien und hyperbolische Geometrien legt. Der Begriff und die Axiome stammenDie grundlegende Idee zu einer „Spiegelungsgeometrie“ stammt von Hjelmslev, z. B. Hjelmslev (1907), Bachman hat nach seinen Worten ein Axiomensystem von Schmidt (Schmidt, 1943) „reduziert“. von Friedrich Bachmann, der sie in seinem Lehrbuch „Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff“ formuliert, wichtige Folgerungen beweist und zeigt, wie die zweidimensionalen, metrischen absoluten Geometrien, die metrischen Ebenen in projektive Ebenen eingebettet werden können.Bachmann (1973) Jede metrische Ebene bestimmt durch ihre „Metrik“ eine bestimmte Untergruppe der Projektivitätengruppe des zweidimensionalen projektiven Raumes , in den sie sich einbetten lässt, auch der Körper ist durch die metrische Ebene eindeutig bestimmt.

Es ist zu beachten, dass der Begriff „Metrik“ wie er in diesem Zusammenhang benutzt wird, nur entfernte, formale Ähnlichkeiten mit der Metrik eines metrischen Raumes hat. Die „Metrik“ bestimmt hier eine Orthogonalität zwischen Geraden, im Allgemeinen keinen Abstand zwischen Punkten. Man kann diese Orthogonalität in dem Koordinatenvektorraum, des projektiven Raumes , in den die metrische Ebene eingebettet wird, durch eine symmetrische Bilinearform beschreiben (zu dieser Beschreibung siehe Projektiv-metrische Geometrie). Diese Rechtwinkeldefinition entspricht dann formal der für den reellen, euklidischen Fall gewohnten Definition durch ein Skalarprodukt, also durch eine positiv-definite symmetrische Bilinearform.

Dieser Artikel beschreibt hauptsächlich die ebene metrische absolute Geometrie, ihre Modelle heißen metrische Ebenen.

Axiome der ebenen metrischen Geometrie Das geometrisch formulierte Axiomensystem ist äquivalent zu dem gruppentheoretisch formulierten.Bachmann (1973), S. 32. In der metrischen Geometrie wird das gruppentheoretisch formulierte Axiomensystem zur Grundlage gemacht, aus diesem System wird geschlossen. Das geometrische Axiomensystem wird hier zum Abgleich mit anderen Axiomensystemen der absoluten Geometrie zitiert:

Geometrische Formulierung der Axiome Gegeben sei , wobei die Elemente der Menge Punkte, die Elemente der Menge Geraden genannt werden. , die Inzidenzrelation sei eine zweistellige symmetrische Relation. Gilt , so sagt man „ inzidiert mit “ und verwendet dafür auch die sonst in der Geometrie üblichen Formulierungen. Kurz: ist eine (einfache) Inzidenzstruktur, wobei nicht gefordert wird, dass Punkt- und Geradenmenge disjunkt sind.Formuliert man wie hier die Geometrie gruppentheoretisch, so ergibt sich, dass in der elliptischen Geometrie Punkte und Geraden als Gruppenelemente nicht zu unterscheiden sind. Trotzdem ist man bei vielen Formulierungen, in denen Senkrecht- oder Inzidenzrelationen vorkommen, formal auf der sicheren Seite, wenn man sich Punkt- und Geradenmenge „disjunkt gemacht“ denkt. Die Relation , die Orthogonalität, kann nur zwischen Geraden bestehen, man sagt dann für : ist senkrecht zu , ist ein Lot von usw.

Jede bijektive Selbstabbildung der Punktmenge , bei der die Inzidenz und die Orthogonalität erhalten bleiben, heißt orthogonale Kollineation. Eine involutorische orthogonale Kollineation, die eine Gerade punktweise fest lässt, heißt eine Spiegelung an der Geraden .

Inzidenzaxiome: Es gibt wenigstens eine Gerade und mit jeder Geraden inzidieren wenigstens drei Punkte. Zu zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eineAus dieser Eindeutigkeitsaussage folgt die (viel schwächere) „Einfachheit“ der Ebene als Inzidenzstruktur: Eine Gerade ist vollständig durch die Menge der mit ihr inzidierenden Punkte bestimmt. Daher genügt es, die Morphismen, hier die orthogonalen Kollineationen, als Punktabbildungen zu definieren. Gerade, welche mit beiden Punkten inzidiert. Orthogonalitätsaxiome: Ist senkrecht zu , dann ist senkrecht zu (Symmetrie). Senkrechte Geraden haben einen Punkt gemein. Durch jeden Punkt gibt es zu jeder Geraden eine Senkrechte, und, falls der Punkt mit der Geraden inzidiert, nur eine. An jeder Geraden gibt es wenigstens eine Spiegelung (Spiegelungsaxiom). Die Komposition von Spiegelungen an drei Geraden , welche einen Punkt oder ein Lot gemeinsam haben, stimmt mit einer Spiegelung an einer Geraden überein (Satz von den drei Spiegelungen).

Gruppentheoretische Begriffe und Vereinbarungen Die Verknüpfung einer Gruppe wird multiplikativ oder häufiger durch Juxtaposition geschrieben, ist ihr neutrales Element. Die Konjugation operiert wie das Potenzieren von rechts und ist dementsprechend definiert: , damit ist Eine Teilmenge einer Gruppe heißt invariant, wenn sie dies unter der Konjugation ist. Eine Teilmenge ist also genau dann invariant, wenn für jedes Element und jedes Gruppenelement stets gilt. In einer Gruppe heißen die Elemente der Ordnung involutorisch, damit ist insbesondere das neutrale Element der Gruppe keine Involution!

Grundrelation Für involutorische Gruppenelemente wird eine namenlose Relation definiert, es zeigt sich, dass diese Relation sowohl Inzidenz als auch Senkrechtstehen und noch einige andere Beziehungen beschreibt: Seien involutorische Gruppenelemente, dann gilt genau dann, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist: ist involutorisch, und , und (geometrische Interpretation: Die Bewegung bildet das „geometrische Objekt“ z. B. Punkt oder Gerade auf sich selbst ab), und .

Die Grundrelation ist symmetrisch und irreflexiv.

Abkürzungen Statt „ und “ wird abkürzend geschrieben bedeutet: Jedes linksstehende Element steht mit jedem rechtsstehenden in Relation usw.

Gruppentheoretische Formulierung der Axiome mini|Axiom D (Axiom vom Dreiseit): Es gibt zwei senkrechte Geraden , und eine Gerade , die weder zu noch zu senkrecht ist und nicht mit dem Punkt inzidiert. Grundannahme: Es sei ein aus involutorischen Elementen bestehendes, invariantes Erzeugendensystem einer Gruppe gegeben.

Die Elemente von werden mit kleinen lateinischen Buchstaben bezeichnet (sie spielen die Rolle der Geraden und Achsenspiegelungen), die involutorischen Elemente der Gruppe , welche als Produkt von zwei Elementen des Erzeugendensystems darstellbar sind – also die in der Form mit darstellbaren Elemente der Gruppe – werden mit großen lateinischen Buchstaben bezeichnet (sie spielen die Rolle der Punkte und Punktspiegelungen).

Axiom 1: Zu gibt es stets ein mit (Existenz der Verbindungsgeraden). Axiom 2: Aus folgt oder (Eindeutigkeit der Verbindungsgeraden, zwei Geraden haben höchstens einen Schnittpunkt). Axiom 3: Gilt , so gibt es ein , so dass ist (Satz von den drei Spiegelungen für drei kopunktale Geraden). Axiom 4: Gilt , so gibt es ein , so dass ist (Satz von den drei Spiegelungen für drei lotgleiche Geraden). Axiom D: Es gibt derart, dass und weder noch noch gilt (Axiom vom Dreiseit).

Vergleiche zur geometrischen Bedeutung der Axiome die Abbildung rechts für das Axiom D, zu den Axiomen 3 und 4 siehe weiter unten

Weitere Begriffe und Relationen

Punkte, Geraden, Inzidenz- und Senkrechtrelation Die Elemente des Erzeugendensystems werden als Geraden interpretiert. Die involutorischen Elemente , für die eine Darstellung existiert, werden als Punkte interpretiert. Ist für einen Punkt und eine Gerade das Produkt (oder gleichwertig ) involutorisch, dann sagt man: „ und inzidieren“, kurz:. Ist für zwei Geraden das Produkt involutorisch, dann sagt man „ ist senkrecht zu “, kurz .

Zwei senkrechte Geraden bestimmen also einen Punkt, senkrechte Geraden schneiden sich immer, ein Punkt kommutiert mit jeder Geraden, die mit ihm inzidiert. Zwei Geraden kommutieren genau dann, wenn sie zueinander senkrecht stehen.

heißt, wenn die Grundannahme und die Axiome erfüllt sind, erzeugte Bewegungsgruppe. Die geometrische Struktur , die sich aus der Bewegungsgruppe durch die geometrischen Interpretationen ergibt, heißt die Gruppenebene von .

Transformieren Ist ein beliebiges Gruppenelement, dann gilt nach Definition der Punkte und Geraden, insbesondere aufgrund der Invarianz von unter Konjugation: für jeden Punkt ist das transformierte Objekt ein Punkt, für jede Gerade ist das transformierte Objekt eine Gerade, die Inzidenzrelation und die Senkrechtrelation bleiben bei Transformationen erhalten. Durch das „Transformieren“, also das gruppentheoretische Konjugieren, operiert die Gruppe auf sich selbst und insbesondere auf den Elementen, die geometrisch als Geraden und Punkte interpretiert werden. Als Transformationsgruppe der Punkte und Geraden wird als Gruppe der Bewegungen der Gruppenebene aus Punkten und Geraden bezeichnet.

Zunächst ist nach Konstruktion klar, dass durch die Transformation ein Epimorphismus der Gruppe auf die Gruppe ihrer inneren Automorphismen gegeben ist. Tatsächlich gilt: Das Zentrum von besteht nur aus dem Einselement.Bachmann (1973), §3.7 Satz 18 Und daher: Die axiomatisch beschriebene Bewegungsgruppe ist isomorph zur Gruppe der Bewegungen ihrer Gruppenebene.Bachmann (1973), §3.7 Satz 19

Verbindbarkeit Besteht für drei involutorische Elemente die Relation , dann heißt eine Verbindung von . Wichtige konkrete geometrische Interpretationen der Verbindbarkeit: : Die Punkte sind durch die Gerade verbunden. – Die Existenz dieser Verbindungsgeraden ist durch das Axiom 1, ihre Eindeutigkeit im Fall durch Axiom 2 gesichert. : Die beiden Geraden sind kopunktal. Existiert für zwei verschiedene Geraden ein Verbindungspunkt, dann gibt es nach Axiom 2 keinen weiteren. : Die Geraden besitzen ein gemeinsames Lot . Sie heißen dann auch lotgleich. Die geometrische Aussage: „Jede Gerade besitzt ein Lot“ folgt aus der Tatsache, dass jede Gerade einen Punkt enthält (aus den gruppentheoretischen Axiomen nicht ganz trivial zu beweisen) und dann einfach aus der Definition eines Punktes als Produkt zweier senkrechter Geraden. Die Lotgleichheit zweier Geraden ist in der absoluten Geometrie eine Äquivalenzrelation, die die Parallelität im Sinne der Inzidenz oft ersetzen kann.

Büschel Von Geraden sagt man „sie liegen im Büschel“, wenn also eine Gerade ist. Die dreistellige Relation Im-Büschel-Liegen hat offensichtlich die folgenden Eigenschaften: (dreistellige) Reflexivität: Stimmen mindestens zwei der Garaden überein, dann gilt . Zum Beispiel , da Involution ist, ist eine Gerade, weil invariant ist. (dreistellige) Symmetrie: Gilt , so trifft die Relation auch für jede Permutation der Geraden zu. Zum Beispiel ; usw. Nicht so offensichtlich ist die: (dreistellige) Transitivität: Gilt und , dann folgt .Bachmann (1973), §4.4 Satz 6 (Transitivitätssatz)

Die Büschelrelation erzeugt als dreistellige „Äquivalenzrelation“ eine Aufteilung der Geradenmenge in Geradenbüschel mit folgenden Eigenschaften, die den Äquivalenzklasseneigenschaften einer zweistelligen Äquivalenzrelation ähneln (und rein mengentheoretische Folgerungen aus den genannten Relationeneigenschaften, der dreistelligen Reflexivität, Symmetrie und Transitivität sind): Für drei verschiedene Geraden in einem Büschel gilt die Relation. Gilt die Relation für zwei verschiedene Geraden eines Büschels und eine dritte Gerade, dann liegt auch diese im Büschel. Zwei verschiedene Geraden eines Büschels bestimmen dieses eindeutig. Zwei verschiedene Büschel haben höchstens ein Element gemein.

Geometrisch treten in der absoluten Geometrie drei Arten von Geradenbüscheln auf: Büschel kopunktaler Geraden (die klassischen Büschel, wie sie im projektiven Raum auftreten), Büschel lotgleicher Geraden, Lotbüschel, „freie“ Büschel (weder Punkt- noch Lotbüschel).