Eine Korrelation oder Dualität ist in der projektiven Geometrie ein (Inzidenzstruktur-)Isomorphismus zwischen einer projektiven Ebene und ihrer dualen Ebene.R. Baer: Linear Algebra and Projective Geometry, Academic Press, 1952, ISBN 012072250X. Von der Ebene wird dabei in den wichtigsten Fällen zusätzlich gefordert, dass sie den Satz von Pappos erfüllt, also durch einen kommutativen Körper koordinatisiert werden kann. Die Darstellung und die Klassifikation von Korrelationen entsprechen weitgehend der von Kollineationen einer projektiven Ebene. Wichtige Unterschiede zu Kollineationen sind: Eine Korrelation der Ebene bildet Punkte auf Geraden und Geraden auf Punkte ab. Während Kollineationen einer projektiven Ebene immer existieren, müssen Korrelationen nicht existieren, wenn die projektive Ebene (oder allgemeiner der projektive Raum) nicht pappossch ist.

Eine wichtige Anwendung haben projektive Polaritäten, das sind doppelverhältnistreue, involutorischeIn diesem Zusammenhang ist eine Involution eine Abbildung mit , also nie die Identität, nach Konstruktion kann eine Korrelation ohnehin nicht identisch sein, da sie Punkte auf Geraden abbildet. Bachmann (1973) Korrelationen in der absoluten Geometrie, weil eine solche Korrelation dort als absolute Polarität die „Metrik“ eines projektiv-metrischen Raumes kennzeichnet und seine Bewegungsgruppe definiert. Sie sind eine Verallgemeinerung der im Artikel Pol und Polare beschriebenen Zuordnung (einer hyperbolischen projektiven Polarität), die durch einen Kegelschnitt bestimmt ist. Hier kann auch eine projektive Polarität einer bestimmten projektiven Geraden innerhalb eines umfassenderen projektiven Raumes interessant sein: Sie lässt sich durch ein (nicht unbedingt positiv-definites, vielmehr ein formales) Skalarprodukt beschreiben, das auf einer Geraden des projektiven Raumes eine elliptische, projektive Polarinvolution, das heißt eine fixpunktfreie, projektive Polarität auf einer Geraden induziert. Diese Polarinvolution auf einer ausgezeichneten Ferngeraden liefert in der projektiven Beschreibung der absoluten Geometrie für den „euklidischen Sonderfall“ die Invariante, die die projektive Polarität im nichteuklidischen Fall liefert. Hier zeigt sich eine Verwandtschaft zum (zunächst projektiv-zwei-dimensionalen) Minkowski-Raum, der selbst kein Modell einer absoluten Geometrie ist: Die Minkowski-Metrik induziert auf einer ausgezeichneten Ferngeraden der Ebene eine hyperbolische projektive Polarinvolution.

Beispiel: Die Abbildung der reellen projektiven Ebene, die einem Punkt (in homogenen Koordinaten) die Ebene mit der Gleichung zuordnet und umgekehrt, ist eine Korrelation. Sie ist involutorisch und damit sogar eine Polarität. Da kein Punkt mit seiner Polaren inzidiert, liegt eine elliptische Polarität vor.

Der Begriff Korrelation wird auch im naheliegenden Sinn allgemeiner bei projektiven Räumen höherer Dimension und für nichtdesarguessche Ebenen verwendet.

Definitionen Korrelation Eine Korrelation einer pappusschen projektiven Ebene ist eine inzidenzerhaltendeSieht man die Inzidenzrelation nicht als symmetrisch an, wie das manchmal in der Literatur geschieht, so wird diese Relation umgekehrt. bijektive Abbildung dieses Raumes auf die duale Ebene , wobei bijektiv auf und bijektiv auf abgebildet wird. Punktmenge und Geradenmenge sind in also in der dualen Ebene vertauscht.

Projektive Korrelation Eine Korrelation heißt projektiv, wenn jedes eindimensionale Grundgebilde projektiv, also doppelverhältnistreu abgebildet wird. Dies bedeutet konkret: Sind vier Punkte auf einer Geraden, dann ist ihr Doppelverhältnis gleich dem Doppelverhältnis der vier Geraden . Sind vier Geraden, die durch einen gemeinsamen Punkt gehen, dann ist deren Doppelverhältnis gleich dem Doppelverhältnis der vier Punkte .

Polarität, Pol, Polare und konjugierte Elemente Eine involutorische Korrelation (sie braucht nicht notwendig projektiv zu sein) wird als PolaritätBachmann (1973), S. 88f. bezeichnet. Sie ordnet jedem Punkt eine wohlbestimmte Gerade (seine Polare) und jeder Geraden einen wohlbestimmten Punkt (ihren Pol) zu, wobei der Pol der Polaren eines Punktes wieder der ursprüngliche Punkt ist und die Polare des Pols einer Geraden wieder die ursprüngliche Gerade.

Zwei Punkte heißen zueinander konjugiert (bezüglich der Polarität), wenn jeder auf der Polaren des anderen liegt: , zwei Geraden heißen zueinander konjugiert (bezüglich der Polarität), wenn jede durch den Pol der anderen geht: . Ein Punkt heißt selbstkonjugiert, wenn er auf seiner Polaren liegt, eine Gerade, wenn sie ihren Pol enthält.

Hyperbolische und elliptische Polaritäten Eine Polarität heißt hyperbolisch, falls sie selbstkonjugierte Punkte (und damit gleichwertig selbstkonjugierte Geraden) hat, sonst heißt sie elliptisch.

Darstellung und Eigenschaften Sind Korrelationen auf der gleichen projektiven Ebene, so ist die Verkettung eine Kollineation dieser Ebene (und ebenso eine Kollineation der dualen Ebene). Sind die Korrelationen projektiv, dann ist die Verkettung eine Projektivität sowohl der Ebene (als Punktmenge) als auch der dualen Ebene (als Abbildung auf der Geradenmenge). kann auch dann eine Projektivität im Sinne der vorigen Aussage sein, wenn keine der beiden Korrelationen projektiv ist. Eine Korrelation einer Ebene ist genau dann eine Polarität, wenn die identische Abbildung der Ebene (ihrer Punktmenge und ihrer Geradenmenge) ist.

Koordinatendarstellung Sei ein Körper.Oft wird noch verlangt, dass die Charakteristik dieses Körpers nicht 2 sei, geometrisch bedeutet das: die projektive Ebene erfülle das Fano-Axiom. Der Vektorraum liefert das Standardmodell der projektiven Ebene über . Nach Auswahl einer projektiven Punktbasis, also eines geordneten vollständigen Vierecks, lässt sich auch eine abstrakte projektive Ebene dann mit dem Standardmodell identifizieren. Es wird vereinbart: Spaltenvektoren stehen für die homogenen Koordinaten von Punkten, Zeilenvektoren für die homogenen Koordinaten von GeradenAlso für das Koeffiziententripel einer homogenen Ebenengleichung im . Ein Punkt und eine Gerade inzidieren genau dann, wenn das formale Matrixprodukt den Wert hat.

Für eine projektive Korrelation muss die Zuordnung die Koordinaten jedes Punktes linear abbilden, also ist mit einer regulären -Matrix A. Ebenso muss für die Geradenkoordinaten gelten. Damit die „Inzidenzform“ in sich selbst übergeht, muss zwischen den regulären Matrizen der Zusammenhang gelten. Die Korrelation ist genau dann involutorisch, wenn ist.

Bei einer beliebigen Korrelation müssen die Zuordnungen semilinear sein, dann ist für die Koordinatenvektoren von Punkten und für die Koordinatenvektoren von Geraden. Dabei ist ein Körperautomorphismus von K. Der Körperautomorphismus ist vom gewählten Koordinatensystem unabhängig, vergleiche hierzu: Kollineation#Koordinatendarstellung. Auch hier muss zwischen den regulären Matrizen der Zusammenhang gelten. Die Korrelation ist genau dann involutorisch, wenn und ist.

Projektive Polaritäten und Kegelschnitte Ist eine hyperbolische Polarität projektiv, so bilden die selbstkonjugierten Punkte und Geraden einen Kegelschnitt der nach Karl von Staudt als Fundamentalkurve der Polarität bezeichnet wird. Der Pol einer beliebigen Geraden heißt dann auch „ihr Pol in Bezug auf “ und die Polare eines beliebigen Punktes „seine Polare in Bezug auf “, wie dies im Artikel Pol und Polare erläutert wird.

Für elliptische Polaritäten existiert keine definierende Fundamentalkurve.

Projektive Korrelationen und Bilinearformen

Man kann die durch die Zuordnung für Punkte auf Hyperebenen gegebene Abbildung auch losgelöst von der geometrischen Interpretation betrachten. Die Begriffe Radikal und die Attribute isotrop und nullteilig, die in der abstrakten linearen Algebra definiert werden, kommen auch in der geometrischen Literatur vor. Sie überschneiden sich mit teilweise gleich bezeichneten, aber nicht ganz äquivalenten Begriffen aus der Klassifikation von Quadriken. Die hier gegebenen Erklärungen richten sich nach Bachmann (1973).dort §8.2: Metrische Vektorräume und orthogonale Gruppen.

Es sei zunächst eine beliebige -Matrix mit Einträgen aus einem Körper , der -dimensionale Vektorraum über mit seiner Standard-Vektorraumbasis. Dann ist durch

eine Bilinearform definiert.

Radikal Das Linksradikal ist der Kern der linearen Abbildung , also der Lösungsraum der Gleichung , formal ist das eine Abbildung des Vektorraums in seinen (algebraischen) Dualraum , denn wirkt als Linearform auf Vektoren. Das Rechtsradikal ist der Kern der linearen Abbildung . Für einen Unterraum ist . Für einen Unterraum ist . Ist die Bilinearform symmetrisch, dann sind Links- und Rechtsradikal identisch, man nennt diese Menge dann Radikal von bezüglich der Form . Dafür reicht es hin, dass eine symmetrische Matrix ist . Dies ist für eine projektive Polarität stets gegeben.

Isotrope Vektoren, Nullteiligkeit Für den Begriff der Isotropie kommt es nur auf die Formwerte der Bilinearform an. Ein Vektor heißt isotrop, wenn ist. Aus der Definition folgt, dass jeder Vektor, der dem Rechts- oder Linksradikal angehört, isotrop ist.

Ist umgekehrt bei einer symmetrischen Bilinearform jeder isotrope Vektor im Radikal enthalten, dann heißt die Bilinearform nullteilig.

Für die in diesem Artikel beschriebenen Fälle gilt folgendes Wörterbuch (alle genannten Abbildungen seien projektiv in der ersten Spalte und linear bzw. bilinear in der zweiten und dritten):

Projektive Geometrie Matrixdarstellung Vektorraum Punktabbildung einer Korrelation , Matrix ist regulär Rechts- und Linksradikal sind der Nullvektorraum Korrelation ist eine Polarität Matrix A ist regulär und symmetrisch Bilinearform ist symmetrisch, ihr Radikal ist der Nullvektorraum ab hier eine projektive Polarität: ab hier eine, reguläre, symmetrische Matrix: ab hier eine, nichtausgeartete, symmetrische Bilinearform: Punkt ist selbstkonjugiert. ist isotrop Hyperebene ist selbstkonjugiert ist isotrop Punkt und Hyperebene sind polar gleichwertig Polarität ist elliptisch Jeder isotrope Vektor liegt im Radikal, ist also hier . ist nullteilig Polarität ist hyperbolisch Es gibt isotrope Vektoren, die nicht im Radikal liegen. ist nicht nullteilig.

Beispiele Eine nicht-projektive, elliptische Polarität Sei der Körper der komplexen Zahlen. Dann wird durch ( sei die -Einheitsmatrix) und , die komplexe Konjugation eine Korrelation auf der projektiven Ebene definiert, die involutorisch, aber nicht projektiv ist, also eine Polarität. Diese ist elliptisch, denn die Gleichung für selbstkonjugierte Vektoren hat keine Lösung außer dem Nullvektor.

Hyperbolische Polaritäten Der Einheitskreis der affinen Ebene über den reellen Zahlen wird im projektiven Abschluss dieser Ebene zur Fundamentalkurve einer Polarität. Wählt man als Ferngerade, dann lautet die Kreisgleichung projektiv . Die „Formmatrix“ dieser Quadrik die Diagonalmatrix ist zugleich die Punktabbildungsmatrix der zugehörigen Polarität. Es geht also der affine Punkt , projektiv in die projektive Polare , affin über. Dies ist eine Gerade, die für vom Ursprung verschiedene affine Punkte senkrecht zur Geraden OP steht und durch den Punkt geht, der spiegelbildlich zu bezüglich der Einheitskreislinie liegt. Polare des Ursprungs ist die Ferngerade, Polare eines Fernpunktes sind die Geraden durch den Ursprung, deren senkrechte Richtung ist, affin die Geraden , die Punkte auf dem projektiven Kegelschnitt sind genau die selbstkonjugierten Punkte der Polarität (genau sie inzidieren mit ihrer Polaren). Die Polarität ist also, da es selbstkonjugierte Punkte gibt, hyperbolisch.