Der Satz von Wintner-Wielandt ist ein mathematischer Lehrsatz aus der Theorie der linearen Operatoren, einem Teilgebiet der Funktionalanalysis, das enge Verbindungen zur theoretischen Physik aufweist. Er geht in seiner ursprünglichen Fassung zurück auf Aurel Wintner (1903–1958) und Helmut Wielandt (1910–2001) und gibt Aufschluss über die Frage, inwieweit die quantenmechanischen Grundoperatoren, welche mit der heisenbergschen Unbestimmtheitsrelation verknüpft sind, als beschränkte Operatoren existieren.Collatz, S. 77–79.Heuser, S. 102.
Im Zusammenhang mit dem Satz von Wintner-Wielandt entstand eine Reihe von weitergehenden Untersuchungen.
Formulierung des Satzes Der Satz lässt sich folgendermaßen formulieren:Halmos, S. 126–127, 333.
Gegeben sei ein normierter Vektorraum und dazu die normierte Algebra der beschränkten linearen Operatoren von , versehen mit der Operatornorm . Der Identitätsoperator von werde mit bezeichnet.
Für zwei lineare Operatoren und auf und einen (reellen oder komplexen) Skalar sei unter (H) die folgende Gleichung (heisenbergsche Vertauschungsrelation) verstanden:
(H) Wobei ist der sogenannte Kommutator der beiden Operatoren und .
Dann gilt:
Die Gleichung (H) ist dann und nur dann erfüllbar, wenn ist, also genau dann, wenn und miteinander vertauschbar sind.
Beweis Wintner hat einen Beweis mit Hilfe der Spektraltheorie geliefert.Halmos, S. 333.
Einen anderen und allgemeineren, dabei leichter zugänglichen Beweis gab Wielandt.Halmos, S. 126, bezeichnet die beiden Beweise als two beautiful proofs. Der Beweis von Wielandt lässt sich wie folgt darstellen:
I: Ausweitung der heisenbergschen Vertauschungsrelation Wegen In einer Operatoralgebra schreibt man für die Hintereinanderausführung zweier Operatoren und aus Übersichtlichkeitsgründen oft statt . lässt sich die heisenbergsche Vertauschungsrelation für jedes auf die folgende Identität ausweiten:
(H1) Hier ist zu beachten.
Dies ergibt sich mittels vollständiger Induktion:
Induktionsanfang:
Den Induktionsanfang für liefert (H) selbst.
Induktionsschritt :
Denn nach Ausmultiplizieren heben sich die beiden mittleren Terme weg.
Mit der Induktionsvoraussetzung ergibt sich mittels Einsetzen weiter:
Somit folgt:
II: Eigentlicher Widerspruchsbeweis Nun wird als Widerspruchsannahme als gegeben angesehen.
Dann folgt zunächst mit (H), dass nicht der Nulloperator sein kann, und wegen (H1) gilt dies dann für jedes und jedes in gleicher Weise.Dies zeigt man ausgehend von (H1) mit Hilfe eines weiteren Induktionsbeweises.
Andererseits erhält man aus (H1)Von rechts nach links gelesen! für jedes die folgende Abschätzung:
Also weiter:
Also schließlich:
Nun kann man durch teilenDa nicht der Nulloperator ist, gilt . und erhält für jedes :
(H2)
Mit (H2) gelangt man wie gewünscht zu einem Widerspruch, denn die Menge der natürlichen Zahlen hat innerhalb der reellen Zahlen keine obere Schranke.
III: Abschluss Es muss demnach gelten. Dies aber besagt, dass der Nulloperator ist, was gleichbedeutend mit ist.
Zusammenhang mit den quantenmechanischen Grundoperatoren Der Satz von Wintner-Wielandt impliziert, dass die quantenmechanischen Grundoperatoren nicht sämtlich beschränkt sein können, also unstetig sein müssen. Insbesondere können die Hilberträume der Quantenmechanik nicht von endlicher Dimension sein.
Weiterhin ist nachgewiesen, dass im Falle der Gültigkeit von (H) der Skalar stets rein imaginär, also ohne Realteil sein muss, wobei Voraussetzung ist, dass (H) überhaupt sinnvoll ist.v. Neumann, S. 123.
Verallgemeinerung Wie der Beweis zeigt, ist die Aussage des Satzes von Wintner-Wielandt in gleicher Weise für jede normierte Algebra mit Einselement gültig.Halmos, S. 126.
Literatur Originalarbeiten MR0167847
Monographien
Weblinks (SS 2001; PDF; 91 kB), TU München
Fußnoten und Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Wintner-Wielandt, Satz von