Eine Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form . Mit Hilfe der Pierpont-Primzahlen lässt sich angeben, welche regelmäßigen Polygone mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden können. Sie sind nach dem US-amerikanischen Mathematiker James Pierpont benannt.
Definition Eine Primzahl heißt Pierpont-Primzahl, wenn sie von der Form
ist, wobei natürliche Zahlen sind. Die Pierpont-Primzahlen sind damit diejenigen Primzahlen , für die 3-glatt ist.
Beispiele Die ersten Pierpont-Primzahlen sind:
2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, … ()
Die derzeit größte bekannte Pierpont-Primzahl ist
mit 3.259.959 Dezimalstellen. Ihre Primalität wurde 2014 von Sai Yik Tang bewiesen.
Eigenschaften Spezialfälle Für und gibt es keine Pierpont-Primzahlen, denn ist eine gerade Zahl größer als zwei und damit zusammengesetzt. Für und muss eine Potenz von zwei sein und eine Pierpont-Primzahl ist damit eine fermatsche Primzahl. Für und hat eine Pierpont-Primzahl die Form .
Verteilung mini|Verteilung der Exponenten der kleinen Pierpont-Primzahlen
Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als ist
().
Die Anzahl der Pierpont-Primzahlen kleiner als ist
().
Andrew Gleason vermutete, dass es unendlich viele Pierpont-Primzahlen gibt. Sie sind nicht besonders selten und haben wenige Einschränkungen bezüglich algebraischer Faktorisierungen. So gibt es beispielsweise keine Bedingungen, wie bei Mersenne-Primzahlen, dass der Exponent prim sein muss. Vermutlich gibt es
Pierpont-Primzahlen kleiner als , im Gegensatz zu Mersenne-Primzahlen im gleichen Bereich.
Faktoren von Fermat-Zahlen
Als Teil der laufenden weltweiten Suche nach Faktoren der Fermat-Zahlen, wurden bereits einige Pierpont-Primzahlen als Faktoren gefunden. Die folgende Tabelle gibt Werte für , und an, sodass gilt:
.
Die linke Seite ist eine Pierpont-Primzahl, falls eine Potenz von drei ist; die rechte Seite ist eine Fermat-Zahl.
Jahr Entdecker38 3 41 1903 Cullen, Cunningham & Western63 9 67 1956 Robinson207 3 209 1956 Robinson452 27 455 1956 Robinson9428 9 9431 1983 Keller12185 81 12189 1993 Dubner28281 81 28285 1996 Taura157167 3 157169 1995 Young213319 3 213321 1996 Young303088 3 303093 1998 Young382447 3 382449 1999 Cosgrave & Gallot461076 9 461081 2003 Nohara, Jobling, Woltman & Gallot495728 243 495732 2007 Keiser, Jobling, Penné & others672005 27 672007 2005 Cooper, Jobling, Woltman & Gallot2145351 3 2145353 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot2478782 3 2478785 2003 Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot2543548 9 2543551 2011 Brown, Reynolds, Penné & Fougeron
Anwendungen Ein regelmäßiges Polygon mit Seiten kann genau dann mit Zirkel und Lineal sowie einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden, wenn von der Form
ist, wobei mit verschiedene Pierpont-Primzahlen größer als drei sind. Die konstruierbaren Polygone, also die Polygone, die nur mit Zirkel und Lineal konstruiert werden können, sind hiervon Spezialfälle, bei denen und verschiedene Fermat-Primzahlen sind. Die kleinste Primzahl, die keine Pierpont-Primzahl ist, ist . Daher ist das Elfeck das kleinste regelmäßige Polygon, das nicht mit Zirkel, Lineal und Winkeldrittelung konstruiert werden kann. Alle anderen regelmäßigen -Ecke mit können mit Zirkel, Lineal und (gegebenenfalls) einem Hilfsmittel zur Winkeldreiteilung konstruiert werden.
In der Mathematik des Papierfaltens definieren die Huzita-Axiome sechs der sieben möglichen Faltungen. Diese Faltungen reichen ebenfalls aus, jedes regelmäßige Polygon mit Seiten zu bilden, wenn von der obigen Form ist.
Verallgemeinerung Eine Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form . Die ersten Zahlen dieser Art sind: 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747,… ()
Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl ist eine Primzahl der Form mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen .
Eine verallgemeinerte Pierpont-Primzahl der 2.Art ist eine Primzahl der Form mit k verschiedenen, immer größer werdenden geordneten Primzahlen .
In beiden Fällen muss sein. Alle weiteren sind ungerade Primzahlen.
Diese vorherige Aussage resultiert aus der folgenden Überlegung: Wäre p1 nicht 2, so wäre das Produkt aus ungeraden Primzahlpotenzen wieder ungerade. Wenn man dann noch 1 addiert oder subtrahiert, wäre die so erhaltene Zahl auf jeden Fall gerade und somit nicht prim.
Es folgen ein paar verallgemeinerte Pierpont-Primzahlen:
{p1, p2, p3, …, pk} +1 OEIS-Folge -1 OEIS-Folge {2} 2, 3, 5, 17, 257, 65537 () 3, 7, 31, 127, 8191, 131071, … () {2, 3} 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, … () 2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, … () {2, 5} 2, 3, 5, 11, 17, 41, 101, … () 3, 7, 19, 31, 79, 127, 199, … () {2, 3, 5} 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 31, 37, 41, … () {2, 7} 2, 3, 5, 17, 29, 113, 197, … () 3, 7, 13, 31, 97, 127, 223, … () {2, 3, 5, 7} 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 29, 31, 37, … () {2, 11} 2, 3, 5, 17, 23, 89, 257, 353, … () 3, 7, 31, 43, 127, 241, 967, … () {2, 13} 2, 3, 5, 17, 53, 257, 677, … () 3, 7, 31, 103, 127, 337, … ()
Weblinks
Einzelnachweise
Kategorie:Ganzzahlmenge Kategorie:Primzahl Kategorie:Zahlentheorie