Ein Zweitor ist ein Modell für ein elektrisches Bauelement oder ein elektrisches Netzwerk mit vier Anschlüssen, bei dem je zwei Anschlüsse zu einem sogenannten Tor zusammengefasst werden. Ein Tor liegt dann vor, wenn die elektrische Stromstärke durch beide Anschlüsse eines Tors gegengleich ist, d. h. die Torbedingung erfüllt ist. Ein Zweitor ist eine spezielle Form eines allgemeinen Vierpols und andererseits ein Spezialfall eines n-Tores, das auch als Mehrtor bezeichnet wird (siehe auch: Dreitor und Viertor).
Die Begriffe Zweitor und Vierpol mini|Zweitor als Blackbox mit symmetrischer „Bepfeilung“ Da bei einem allgemeinen Vierpol die Torbedingung nicht gelten muss, sind zu seiner Beschreibung drei Gleichungen mit drei Strom- und drei Spannungsvariablen notwendig. Bei nachfolgend ausschließlich behandelten Zweitoren, d. h. bei Vierpolen mit gültigen Torbedingungen und bei Dreipolen (z. B. Transistoren) werden dagegen nur zwei Gleichungen mit zwei Strom- und zwei Spannungsvariablen benötigt.
Aus historischen Gründen werden vor allem in der älteren Fachliteratur die Begriffe „Zweitor“ und „Vierpol“ synonym verwendet, d. h. unter dem Begriff „Vierpol“ (im engeren Sinne) wird implizit immer ein Zweitor verstanden. Ebenso werden die Bezeichnungen Zweitortheorie und Vierpoltheorie sowie Torbedingungen und Vierpolbedingungen gleichbedeutend benutzt.
Insbesondere bei den sogenannten Übertragungsvierpolen, die sich zwischen einem Generator- und einem Lastzweipol befinden und zur Übertragung und/oder Verarbeitung von analogen Signalen oder elektrischer Energie dienen, werden die Tore auch als Eingang und als Ausgang bezeichnet.
Zweitortheorie Unter Zweitortheorie versteht man ein Teilgebiet der theoretischen Elektrotechnik, das sich als ein Verfahren zur Analyse elektrischer Netzwerke mit der Verhaltensbeschreibung und Berechnung von linearen zeitinvarianten Zweitoren beschäftigt. Einerseits beschreibt sie die Zweitore nur durch ihre Zweitorparameter als Blackbox, andererseits stellt sie Ersatzschaltbilder und Verfahren zur Ermittlung des Verhaltens von zusammengesetzten Zweitoren bereit. Während sich die „klassische Vierpoltheorie“ im Wesentlichen mit der Analyse von passiven umkehrbaren Zweitoren beschäftigte, wurden mit Beginn der Analogelektronik auch aktive nichtumkehrbare Zweitore im Rahmen der Kleinsignaltheorie für Elektronenröhren, Transistoren und Operationsverstärker zum Gegenstand der „modernen Zweitortheorie“.
Die Zweitortheorie ist die Basis der Filtertheorie und -technik. Die Struktursynthese von Zweitoren („Vierpolsynthese“) ist nicht Gegenstand der Zweitortheorie, baut aber natürlicherweise auf ihren Erkenntnissen auf. Eine Verallgemeinerung der Zweitortheorie ist die n-Tor-Theorie (auch als Mehrtortheorie bezeichnet). Diese lässt beliebig viele Tore zu, unterscheidet nicht zwischen Ein- und Ausgangstoren und nutzt zur Beschreibung hauptsächlich Streuparameter. Die Methoden der Zweitortheorie können auf elektromechanische und nichtelektrische Systeme verallgemeinert werden. Beispielsweise wird eine ideale Gleichstrommaschine als Zweitor betrachtet, deren Eingang durch Spannung und Strom, ihr Ausgang jedoch durch Drehzahl und Drehmoment beschrieben werden.
Die Wurzeln der Zweitortheorie legte 1886 Oliver Heaviside mit der Theorie der homogenen Leitung, die damit ein erster Repräsentant eines Zweitors war. 1900 gab Mihajlo Pupin mit seiner Leitungsbespulung den Anstoß zu einer „Theorie der Kettenleiter“. George Ashley Campbell beschrieb 1903 einen Tiefpass als Filter und J. L. La Cour nutzte Kettengleichungen und Kettenparameter. 1915 begründete Karl Willy Wagner die Theorie der Kettenleiter und der allgemeinen Siebketten. Schließlich prägte 1921 Franz Breisig den Begriff „Vierpol“. Er baute in den 1920er Jahren mit Julius Wallot die Vierpoltheorie zu einer selbständigen Theorie aus. Felix Strecker und Richard Feldtkeller schlossen 1929 die „Allgemeine Vierpoltheorie“ durch Einführung der Matrizenrechnung ab. Die Verallgemeinerung der Erkenntnisse der klassischen Vierpoltheorie war gleichzeitig der Ausgangspunkt der Ausarbeitung einer Theorie linearer Systeme.
Zweitorgleichungen Das Klemmenverhalten eines Zweitors wird durch zwei Zweitorgleichungen beschrieben, die zwei Klemmenstromvariablen ( und ) und zwei Klemmenspannungsvariablen ( und ) zueinander in Beziehung setzen. Bei diesem Gleichungssystem kann es sich im Allgemeinen um implizite nichtlineare Differentialgleichungen handeln. Für eine handhabbare Theorie reduziert man ihre Komplexität auf zwei algebraische Gleichungen, indem man entweder nur resistive oder nur lineare Zweitore betrachtet.
Zählpfeilsysteme Um das Verhalten eines Zweitors eindeutig zu beschreiben, müssen die Richtungen der Zählpfeile für die beiden Spannungen und die beiden Ströme definiert werden. Während für die Spannungen die „natürliche Richtung“ (von oben nach unten) üblich ist, gibt es für die Ströme unterschiedliche Annahmen. Insbesondere wird die Pfeilrichtung des Ausgangsstromes verschieden festgelegt. In der Theorie, Literatur und Praxis existieren deshalb folgende Zählpfeilsysteme, deren Festlegungen sich in allen Zweitorgleichungen auf die Vorzeichen auswirken:
In der klassischen Theorie der Übertragungsvierpole wird das sogenannte Kettenpfeilsystem benutzt, bei dem der Strompfeil von (anders als hier im Bild gezeigt) vom Zweitor weg zeigt. Deshalb kann die Kettenschaltung von Zweitoren durch eine einfache Matrizenmultiplikation berechnet werden.
Dagegen wird bei Anwendung der Zweitortheorie in der elektronischen Schaltungstechnik heute meist das symmetrische Zählpfeilsystem verwendet. In diesem sind die Ströme zum Zweitor hin positiv definiert (siehe Bild). Damit lässt sich jedoch die Kettenschaltung von Zweitoren nur „umständlich“ berechnen.
Aus diesen Gründen werden oft – wie auch in diesem Artikel – beide Zählpfeilsysteme zu einem gemischten Zählpfeilsystem kombiniert. Für die Widerstands-, Leitwert und Hybridformen verwendet man das symmetrische Pfeilsystem, für die beiden Kettenformen dagegen das Kettenpfeilsystem. Das wird für diese beiden Formen durch ein negatives Vorzeichen von in der unten aufgeführten Definitionstabelle der Zweitorparameter realisiert.
Beim Studium der Literatur zur Zweitor- bzw. Vierpoltheorie muss unbedingt die vom Autor zugrunde gelegte Variante ermittelt werden, um überhaupt Vergleiche der präsentierten Formeln durchführen zu können.
Die Gleichungen resistiver nichtlinearer Zweitore Resistive Zweitore besitzen per Definition keine Blindwiderstände. Deshalb sind für ihre Verhaltensbeschreibung nichtlineare algebraische Gleichungen ausreichend. In vielen praktischen Anwendungsfällen werden diese als Kennlinienfelder dargestellt.
Ein typischer Fall ist das Großsignalverhalten eines Bipolartransistors bei niedrigen Frequenzen. Dieser kann beispielsweise durch sein nichtlineares Hybrid-Kennlinienfeld als Zweitor charakterisiert werden. Die Zweitorgleichungen nehmen dann die Form zweier nichtlinearer Funktionen und an:
Besitzt ein resistives nichtlineares Zweitor im Arbeitspunkt stetige Kennlinien, dann können diese dort linearisiert werden. In diesem Fall wird das lineare Kleinsignalverhalten des Zweitors durch zwei lineare Zweitorgleichungen mit vier das Zweitor beschreibenden Zweitorparametern (in der Literatur auch Zweitorkoeffizienten oder Zweitorkonstanten genannt) beschrieben.
Beispielsweise kann das Kleinsignalverhalten des o. g. Transistors in folgender Weise ausgedrückt werden (üblicherweise wechselt man dann von der Kleinschreibung der Signalbezeichner zur Großschreibung):
Aufgrund der „vermischten“ Anordnung der Variablen bezeichnet man die Zweitorparameter , , und in diesem Beispiel als Hybridparameter.
Die Gleichungen linearer Zweitore Für lineare Zweitore mit internen Blindwiderständen gehen die Differentialgleichungen unter Anwendung der symbolischen Methode der Wechselstromrechnung, der Laplacetransformation oder einer anderen Operatorenrechnung ebenfalls in ein Paar lineare algebraische Gleichungen über. Die vier das Zweitor beschreibenden Zweitorparameter sind damit im Allgemeinen von der (evtl. komplexen) Kreisfrequenz abhängige Operatoren, also Übertragungsfunktionen bzw. Frequenzgänge im Sinne der Theorie linearer Systeme.
Durch die Möglichkeiten bei der konkreten Auswahl der zwei abhängigen und der zwei unabhängigen Variablen für die explizite Schreibweise des Gleichungssystems gibt es genau sechs verschiedene Formen der Zweitorgleichungen. Jede Form ist jeweils für die Berechnung einer bestimmten Zusammenschaltung von Zweitoren besonders geeignet und erhält dadurch ihre Bezeichnung. Die oben genannte Hybridform heißt deshalb auch Reihen-Parallel-Form.
Unter der Voraussetzung der Existenz der jeweiligen Parameter lassen sich die beiden linearen Zweitorgleichungen vorteilhaft, aber nicht notwendigerweise, in Form von Matrizen schreiben. Für das oben genannte Beispiel erhält man
Die Matrix
heißt dann Hybridmatrix oder Reihen-Parallel-Matrix, denn für eine eingangsseitige Reihen- und ausgangsseitige Parallelschaltung zweier Zweitore brauchen deren Hybridmatrizen nur addiert werden.
Bei Zweitoren mit unabhängigen (ungesteuerten) Quellen werden eingeprägte Ströme und Spannungen zu diesen Gleichungen als Konstanten oder in Matrizenschreibweise als Konstanten-Vektor hinzu addiert. Beispielsweise hätten dann die Hybridgleichungen folgende Form:
Eigenschaften Zweitore lassen sich anhand ihres Klemmenverhaltens, d. h. als Blackbox, oder aufgrund ihrer inneren Struktur wie folgt klassifizieren:
Linearität Die Übertragungseigenschaften und Parameter von linearen Zweitoren sind unabhängig von der Größe der Spannungen und Stromstärken. Deshalb gilt für die Torströme und -spannungen der Überlagerungssatz. Ein Zweitor, das nur aus linearen Bauelementen (beispielsweise Widerstand, Spule, Kondensator und Übertrager) besteht, ist immer selbst linear.
Typische nichtlineare Zweitore sind Netzwerke mit mindestens einem nichtlinearen Bauelement und diese Bauelemente selbst, etwa Dioden oder Transistoren. Ihr Übertragungsverhalten hängt wesentlich von der Größe der Torströme und -spannungen ab. Eine annähernd lineare Beschreibung ist mittels der Kleinsignaltheorie bei stetigen Kennlinien und für kleine Amplituden möglich.
Nur lineare Zweitore sind Gegenstand der klassischen Vierpol- und der modernen Zweitortheorie. Nur für sie gelten die linearen Zweitorgleichungen und damit die weiter unten beschriebene Matrizendarstellung der Zweitorparameter.
Leistungsbilanz Aktive Zweitore geben in mindestens einer äußeren Beschaltung (einem Betriebszustand) dauernd Energie „nach außen“ ab. Sie müssen deshalb eine innere Energiequelle besitzen. Diese wird im Ersatzschaltbild durch eine unabhängige ideale Quelle oder eine gesteuerte Quelle repräsentiert. Reale aktive Zweitore, etwa Verstärker, besitzen zu diesem Zweck aktive elektronische Bauelemente (z. B. Transistoren), welche die abzugebende Energie aus Hilfsenergiequellen (z. B. einem Netzteil) beziehen.
Für passive Zweitore ist eine dauerhafte Energieabgabe in keiner denkbaren Beschaltung möglich. Man nennt sie verlustbehaftet, wenn sie einen Teil der zugeführten Energie („im Inneren“) verbrauchen, also in andere Energieformen (oft Wärme) umsetzen. Daraus ergibt sich beispielsweise, dass die Ausgangswirkleistung immer kleiner als die Eingangswirkleistung sein muss. Im Ersatzschaltbild wird der Energieverlust durch ohmsche Widerstände deutlich gemacht.
Dagegen geben verlustlose passive Zweitore in jedem Betriebszustand die aufgenommene Energie auch wieder ab. Typisch ist das für Reaktanzzweitore (das sind sogenannte LCM-Zweitore, die nur Blindschaltelemente enthalten), für den idealen Übertrager, für die ideale Leitung und den (idealen) Gyrator.
Symmetrieverhalten linearer Zweitore