In der Mathematik ist eine halbeinfache Lie-Gruppe eine zusammenhängende Lie-Gruppe, deren Lie-Algebra halbeinfach ist.
Äquivalente Charakterisierungen Eine zusammenhängende Lie-Gruppe ist genau dann halbeinfach, wenn sie eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt: die Killing-Form ist nicht-ausgeartet, es gibt keine normalen nicht-trivialen auflösbaren Untergruppen, es gibt keine normalen nicht-trivialen abelschen Untergruppen.
Beispiele
Spezielle lineare Gruppen: , Spezielle orthogonale Gruppe Symplektische Gruppe Die obigen Beispiele sind einfache Lie-Gruppen. Die direkten Produkte endlich vieler einfacher Lie-Gruppen sind ebenfalls halbeinfache Lie-Gruppen. Halbeinfache algebraische Gruppen über sind halbeinfache Lie-Gruppen.
Maximal kompakte Untergruppe Zu einer halbeinfachen Lie-Gruppe gibt es eine bis auf Konjugation eindeutige maximale kompakte Untergruppe . Beispielsweise ist SO(n) eine maximal kompakte Untergruppe von und SU(n) eine maximal kompakte Untergruppe von .
Symmetrischer Raum Sei eine maximal kompakte Untergruppe der (nicht-kompakten) halbeinfachen Lie-Gruppe . Der Quotient ist ein symmetrischer Raum von nichtkompaktem Typ.
Der duale symmetrische Raum wird mit bezeichnet. Seine Isometriegruppe ist eine kompakte Lie-Gruppe.
Literatur
Brian C. Hall: Lie groups, Lie algebras, and representations. An elementary introduction. (= Graduate Texts in Mathematics. 222). Springer-Verlag, New York 2003, ISBN 0-387-40122-9.
Kategorie:Lie-Gruppe