Eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge ist entweder eine Erweiterung der Fibonacci-Folge auf größere Definitionsbereiche als die natürlichen Zahlen oder eine Verallgemeinerung des Bildungsgesetzes.
Erweiterung auf größere Definitionsbereiche Erweiterung auf alle ganzen Zahlen Wenn man das Bildungsgesetz der Fibonacci-Folgen umkehrt, erhält man . Mit dieser Formel kann man rekursiv Fibonacci-Zahlen zu negativen ganzen Zahlen berechnen. Ferner gilt die Formel von Moivre-Binet auch für negative ganze Zahlen: Für den goldenen Schnitt gilt:
Setzt man , so folgt aus , und
. Der Induktionsschluss ergibt , so dass schließlich die Formel von Moivre-Binet
für alle ganzen Zahlen gilt.
Erweiterung auf alle komplexen Zahlen Die geschlossene Form für die -te Fibonacci-Zahl lautet für ganze Zahlen (siehe oben): , wobei der goldene Schnitt ist. Für den goldenen Schnitt gilt die folgende Gleichung:
Ist eine ganze Zahl, dann gilt jedoch:
Deshalb ist die stetige und analytische Funktion
eine Fortsetzung der Fibonacci-Zahlen auf den komplexen Zahlen.
Verallgemeinerung des Bildungsgesetzes Lucas-Folge Die Fibonacci-Folge ist ein Spezialfall der Lucas-Folge.
Folgen mit ähnlichem Bildungsgesetz Folgen in den komplexen Zahlen Sei eine Folge in , die für durch das rekursive Bildungsgesetz
definiert ist, so ist eine solche Folge eine Verallgemeinerung der Fibonacci-Folge, da diese entsteht, wenn man und setzt. Für das -te Folgenglied dieser Folge gibt es einen geschlossenen Ausdruck: , wobei die -te Fibonacci-Zahl ist. Dies folgt aus vollständiger Induktion mit Induktionsanfang
und Induktionsschritt
Folgen von Vektoren Ist ein Vektorraum und sind , kann man eine Folge von Vektoren rekursiv definieren durch . Wie oben gilt dann die Formel .
Vektorraum der Fibonacci-Folgen Wegen der Gleichung
ist die Menge der Folgen mit ein zweidimensionaler Teilraum des unendlichdimensionalen -Vektorraums aller komplexen Folgen, wobei und (mit ) eine Basis bilden.
Einzelnachweise
Kategorie:Folge ganzer Zahlen Kategorie:Zahlentheoretische_Funktion