In der Warteschlangentheorie, einem Teilgebiet der Wahrscheinlichkeitstheorie, ist die Pollaczek-Chintschin-Formel eine Formel zur Berechnung der mittleren Warteschlangenlänge bei einem Bedienmodell, dessen Anforderungsstrom Poisson-verteilt ist und dessen Bedienzeiten einer beliebigen Verteilung unterliegen (ein M/G/1-Modell in der Kendall-Notation). Sie kann ebenso zur Berechnung der durchschnittlichen Wartezeit in diesem Modell verwendet werden.
Geschichte Die Formel wurde zunächst von Felix Pollaczek 1930 veröffentlicht und von Alexander Chintschin zwei Jahre später überarbeitet.
Durchschnittliche Warteschlangenlänge Die Formel gibt die mittlere Warteschlangenlänge mit
an. Hierbei sind
die Ankunftsrate des Poisson-Stroms, die durchschnittliche Abfertigungszeit der Abfertigungszeitverteilung , die Auslastung und die Varianz der Abfertigungszeitverteilung .
Für eine stabile Warteschlangenlänge ist es notwendig, dass gilt, da sonst die Anfragen schneller ankommen, als sie abgefertigt werden. Die Verkehrsdichte liegt zwischen und . Dies bezeichnet die durchschnittliche Leerlaufzeit des Bedienelements. Sollte die Ankunftsrate größer oder gleich der Bedienrate sein, geht die Wartezeit gegen unendlich. Der Varianzterm der Formel resultiert aus dem Wartezeitparadoxon.
Durchschnittliche Wartezeit Die Zeit bezeichne die durchschnittliche Zeit im System, dann gilt , wobei die durchschnittliche Wartezeit und die Bedienrate ist. Unter Verwendung von Littles Gesetz,
mit als durchschnittliche Warteschlangenlänge, als Ankunftsrate des Poissonstroms und als durchschnittliche Zeit im System
gilt
.
Als Formel der durchschnittlichen Wartezeit folgt dann .
Einzelnachweise
Kategorie:Stochastik