Hadamardsche Lückenreihe ist ein Terminus aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionentheorie. Man versteht darunter eine komplexwertige Potenzreihe mit Entwicklungspunkt Null, deren Koeffizienten einer Lückenbedingung genügenIn englischsprachigen Quellen spricht man auch von lacunary series; vgl. etwa die Arbeit von Kahane, in: Bull. Amer. Math. Soc., Band 70, S. 199 ff. oder Lacunary series in der englischsprachigen Wikipedia.

Der Terminus verweist auf den französischen Mathematiker Jacques Hadamard (1865–1963), der in einer wichtigen Arbeit aus dem Jahre 1892 die Beziehungen zwischen den Singularitäten einer holomorphen Funktion und den Koeffizienten ihrer Taylorentwicklung untersuchte. Die hier zugrundeliegende allgemeine Problemstellung ist die Frage nach dem Randverhalten von Potenzreihen. Es geht um die Frage nach den Holomorphiegebieten der zu gegebenen Potenzreihen gehörigen holomorphen Funktionen und darum, inwieweit der Rand des Konvergenzkreises einer Potenzreihe deren natürliche Grenze darstellt.Die Entdeckung natürlicher Grenzen geht laut Remmert / Schumacher, Funktionentheorie 2, S. 121, 251, auf Karl Weierstraß und Leopold Kronecker zurück.

Lückenbedingung Eine (Hadamardsche) Lückenreihe ist eine komplexe Potenzreihe , die die folgende Eigenschaft erfüllt:

(HL) Es existiert eine streng monoton wachsende Zahlenfolge natürlicher Zahlen und eine reelle Zahl derart, dass gilt: (HL1) Für     ist stets    . (HL2) Für     sind stets     und zugleich    , falls   .

Es gilt also: (HL*) mit . Setzt man , so hat man eine Darstellung .

Lückensatz von Hadamard Der Lückensatz von Hadamard (im englischsprachigen Raum auch Ostrowski-Hadamard Gap Theorem genanntVgl. Ostrowski-Hadamard Gap Theorem bei MATHWORLD. Die englische Namensgebung hängt damit zusammen, dass der Hadamardsche Lückensatz auf einen Satz von Alexander Markowitsch Ostrowski zurückgeführt werden kann; s. ) macht nun die Aussage, dass mittels Hadamardscher Lückenreihen gegebene holomorphe Funktionen nirgends analytisch fortsetzbar sind.

Genauer gesagt gilt:

Ist eine komplexwertige Potenzreihe     mit dem Konvergenzradius     eine Hadamardsche Lückenreihe, so ist die zugehörige holomorphe Funktion     nirgends über die offene Konvergenzkreisscheibe     hinaus fortsetzbar und der Rand     bildet die natürliche Grenze.

Verwandter Satz: Der Lückensatz von Fabry Einer der schärfsten Nichtfortsetzbarkeitssätze ist der Lückensatz von Fabry – so genannt nach dem französischen Mathematiker Eugène Fabry –, der den Hadamardschen Lückensatz sogar umfasst und wie folgt lautet:Der Lückensatz wird in englischsprachigen Quellen oft auch als Fabry’s gap theorem (oder ähnlich) bezeichnet.

Erfüllt eine komplexwertige Potenzreihe mit dem Konvergenzradius die Bedingung , so ist die zugehörige holomorphe Funktion nirgends über die offene Konvergenzkreisscheibe hinaus fortsetzbar und der Rand bildet die natürliche Grenze.

Zusammenfassung Die Aussage beider Sätze lässt sich zusammenfassen wie folgt:

Unter den jeweiligen Bedingungen ist der Konvergenzkreis     das Holomorphiegebiet der zugehörigen holomorphen Funktion   Der Fall     ist jeweils nicht ausgeschlossen.

Zwei Beispiele

(1) (2)

In beiden Fällen ist das Holomorphiegebiet die Einheitskreisscheibe.

Literatur

MR0179329

MR0162919

Einzelnachweise und Anmerkungen

Kategorie:Funktionentheorie Kategorie:Analytische Funktion Hadamard, Luckensatz von